Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildungen/Elementare funktorielle Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Die zu überprüfenden Abbildungen sind genau die Kartenwechsel ${}\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}$, die nach Definition einer ${}C^{k}$-differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}C^{k}$-Diffeomorphismen sind.
(2). Die zu überprüfenden Abbildungen sind bezüglich jeder Karte konstant, also beliebig oft differenzierbar.
(3). Die zu überprüfenden Abbildungen zu ${}i,j\in I$ sind gleich

$\alpha _{i}{\left(U\cap U_{i}\cap U_{j}\right)}\subseteq \alpha _{i}{\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}{\stackrel {\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}}{\longrightarrow }}U'_{j},$

also eine offene Einbettung gefolgt von einem differenzierbaren Kartenwechsel.
(4). Es seien

$\gamma _{\ell }\colon W_{\ell }\longrightarrow W'_{\ell }$

die Karten für ${}N$. Dann sind für alle möglichen Indexkombinationen die (auf gewissen offenen Teilmengen eingeschränkten) Hintereinanderschaltungen

$\gamma _{\ell }\circ (\psi \circ \varphi )\circ \alpha _{i}^{-1}=\gamma _{\ell }\circ \psi \circ \beta _{j}^{-1}\circ \beta _{j}\circ \varphi \circ \alpha _{i}^{-1}={\left(\gamma _{\ell }\circ \psi \circ \beta _{j}^{-1}\right)}\circ {\left(\beta _{j}\circ \varphi \circ \alpha _{i}^{-1}\right)}\,$

nach der Kettenregel differenzierbar. Bei ${}k\geq 2$ verwendet man Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage