Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildungen/Elementare funktorielle Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Die zu überprüfenden Abbildungen sind genau die Kartenwechsel , die nach Definition einer -differenzierbaren Mannigfaltigkeit -Diffeomorphismen sind.
(2). Die zu überprüfenden Abbildungen sind bezüglich jeder Karte konstant, also beliebig oft differenzierbar.
(3). Die zu überprüfenden Abbildungen sind zu gleich

also eine offene Einbettung gefolgt von einem differenzierbaren Kartenwechsel.
(4). Es seien

die Karten für . Dann sind für alle möglichen Indexkombinationen die (auf gewissen offenen Teilmengen eingeschränkten) Hintereinanderschaltungen

nach der Kettenregel differenzierbar. Bei verwendet man Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage