Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildungen/Elementare funktorielle Eigenschaften/Fakt

Es seien $L,M$ und $N$ $C^k$-Mannigfaltigkeiten. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Identität

   $\mathrm{Id}:L⟶L$

   ist eine $C^k$-Abbildung.

2. Jede konstante Abbildung

   $\phi :L⟶M$

   ist eine $C^k$-Abbildung.

3. Für jede offene Teilmenge  $U\subseteq L$  ist die offene Einbettung $U\to L$ eine $C^k$-Abbildung.
4. Es seien

   $\phi :L⟶M$

   und

   $\psi :M⟶N$

   $C^k$-Abbildungen. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

   $\psi \circ \phi :L⟶N$

   eine $C^k$-Abbildung.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen