Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Eindimensional/Beispiel

An eindimensionalen Mannigfaltigkeiten gibt es zunächst die offenen Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{1}$. Diese sind Vereinigungen von offenen Intervallen, und sie sind genau dann zusammenhängend, wenn sie ein offenes Intervall sind. Jedes offene, beschränkte oder unbeschränkte Intervall ist homöomoph und auch diffeomorph zum offenen Einheitsintervall ${}]0,1[$ und zu den reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ selbst. Die abgschlossenen Intervalle ${}[a,b]$ mit ${}a<b$ sind keine Mannigfaltigkeiten, da es für die Randpunkte (die Intervallgrenzen) keine offene Umgebung gibt, die homöomorph zu einem offenen Intervall ist (sie sind aber sogenannte Mannigfaltigkeiten mit Rand).

Darüber hinaus gibt es noch den Kreis (die Sphäre) ${}S^{1}$ als weitere zusammenhängende eindimensionale Mannigfaltigkeit. Es ist

${}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$

Für jeden Punkt ${}P\in S^{1}$ ist ${}S^{1}\setminus \{P\}$ homöomorph zu ${}\mathbb {R}$ (durch stereographische Projektion). Der Kreis ist nicht homöomorph zu ${}\mathbb {R}$, da der Kreis kompakt ist, die reellen Zahlen aber nicht. Neben ${}S^{1}$ und ${}\mathbb {R}$ gibt es keine weiteren eindimensionalen zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten mit abzählbarer Basis der Topologie (was hier ohne Beweis erwähnt sei).