Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kurvenkeim/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$. Wir sagen, dass zwei Kurven

$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$

mit ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$ den gleichen Kurvenkeim definieren, wenn es ein ${}\epsilon >0$ mit

${}\gamma _{1}\!\mid _{[-\epsilon ,\epsilon ]}=\gamma _{2}\!\mid _{[-\epsilon ,\epsilon ]}\,$

gibt.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Kurven ${}\gamma \colon I\rightarrow M$ mit ${}\gamma (0)=P$ (und mit verschiedenen offenen Intervallen ${}0\in I$) definiert.

b) Zeige, dass differenzierbare Kurven, die den gleichen Kurvenkeim repräsentieren, auch den gleichen Tangentialvektor repräsentieren.

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