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Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Diffeomorphismus/Rückzug/Maß/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Fakt können wir davon ausgehen, dass und jeweils ganz in einer Karte von bzw. von liegen, sagen wir mit der Karte

und mit der Karte

Wir können weiter durch verkleinern der Karten davon ausgehen, dass und über diffeomorph zueinander sind. Es liegt dann ein kommutatives Diagramm von Diffeomorphismen

vor, das ein kommutatives Diagramm

von messbaren Mengen induziert. Für die Volumenform auf gilt dabei

nach Fakt  (4). Die Volumenform besitzt auf die Beschreibung mit einer messbaren Funktion und ist nach Definition gleich . Ebenso besitzt auf eine Beschreibung der Form . Diese Volumenform auf stimmt mit dem Rückzug von überein und dieser ist nach Fakt gleich

(mit ). Somit folgt die Aussage aus Fakt.