Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/Kurze exakte Sequenz/Spaltung/Aufgabe

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,U\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,V\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,W\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von differenzierbaren Vektorbündeln über ${}X$. Zeige mit Hilfe von Fakt, dass es eine Spaltung der Sequenz gibt, also einen Vektorbündelisomorphismus ${}V\cong U\oplus W$,

der mit den Bündelhomomorphismen verträglich ist.

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