Mannigfaltigkeit/Differenzierbares Vektorbündel/Definition

Differenzierbares Vektorbündel

Es sei ${}X$ ein differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}r\in \mathbb {N}$. Ein differenzierbares Vektorbündel ${}V$ vom Rang ${}r$ ist eine Mannigfaltigkeit zusammen mit einer differenzierbaren Abbildung ${}p\colon V\rightarrow X$ derart, dass jede Faser ${}p^{-1}(x)$ ein ${}r$-dimensionaler reeller Vektorraum ist und dass es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Diffeomorphismen

$\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$

über ${}U_{i}$ gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus

${\left(\varphi _{i}\right)}_{x}\colon p^{-1}(x)\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}$

induzieren.