Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorfeld/Differentialgleichung/Diffeomorphismus/Textabschnitt

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Torus vectors oblique.jpg


Definition  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung

mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt ist, heißt (zeitunabhängiges) Vektorfeld.

Ein Vektorfeld definiert für jeden Punkt eine gewöhnliche zeitunabhängige Differentialgleichung (ein dynamisches System), nämlich

wobei die gesuchte auf einem reellen Intervall mit definierte differenzierbare Kurve ist. Zu jedem Zeitpunkt soll die Geschwindigkeit (also Ableitung) der Kurve mit dem durch das Vektorfeld vorgegebenen Richtungsvektor im Ortspunkt übereinstimmen und es soll die Anfangsbedingung erfüllt sein. Unter recht schwachen Bedingungen ist die Lösung einer solchen Differentialgleichung eindeutig. Wenn man den Punkt variiert, und die Lösungen zu jedem Anfangspunkt stets auf ganz definiert sind, so ergibt sich insgesamt eine Abbildung

wobei

und die Lösung der Differentialgleichung zum Startpunkt ist. Die Abbildung enthält die volle Information über das Vektorfeld und alle Lösungen der zugehörigen Differentialgleichungen und heißt der Fluss zum Vektorfeld. Die Abbildung zu festem ergibt die Lösungskurve und die Abbildung

zu festem beschreibt, wohin ein Punkt durch die Differentialgleichung hintransportiert wird. Das Vektorfeld kann man über

ebenfalls aus ablesen. Die zu einem fixierten gegebene Abbildung ist unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen ein Diffeomorphismus der Mannigfaltigkeit in sich. Dies kann man wiederum als eine Abbildung

auffassen. Dabei gilt und

für . Das ist also ein Gruppenhomomorphismus der reellen additiven Gruppe in die Gruppe der Diffeomorphismen, man spricht von einer Einparametergruppe von Diffeomorphismen. Die begleitende Vorstellung ist dabei, dass die Identität mit Hilfe des Zeitparameters in einen komplizierteren Diffeomorphismus deformiert wird.

Im Allgemeinen sind die Lösungen zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung nicht auf ganz definiert, sondern nur auf bestimmten Intervallen, die auch noch vom Startpunkt abhängen. Typischerweise ist dann nicht auf ganz definiert, sondern, bei gegebenem Punkt , auf einer Menge der Form , wobei ein reelles Intervall mit und eine offene Umgebung von ist. Der Fluss ist also immerhin in einer Umgebung des Punktes für ein gewisses Zeitintervall definiert. Die Morphismen sind von der Form und sind Diffeomorphismen auf das (offene) Bild.


Definition  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit eine offene Teilmenge und ein offenes Intervall. Eine differenzierbare Abbildung

heißt lokal einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Für jedes ist ein Diffeomorphismus auf die offene Menge .
  2. Es ist .
  3. Für mit und mit gilt



Satz

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, und ein Vektorfeld auf .

Dann gibt es eine offene Umgebung , ein offenes Intervall und eine lokal einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen

die das Vektorfeld löst.

Beweis

Dieser Satz wird in Büchern über Differentialgleichungen bewiesen.