Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorfeld/Differentialgleichung/Diffeomorphismus/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung

F\colon M\longrightarrow TM

mit der Eigenschaft, dass ${}F(P)\in T_{P}M$ für jeden Punkt ${}P\in M$ ist, heißt (zeitunabhängiges) Vektorfeld.

Ein Vektorfeld ${}F$ definiert für jeden Punkt ${}P\in M$ eine gewöhnliche zeitunabhängige Differentialgleichung (ein dynamisches System), nämlich

{}F(\varphi (t))=\varphi '(t)\,,

wobei ${}\varphi \colon I\rightarrow M$ die gesuchte auf einem reellen Intervall ${}I$ mit ${}0\in I$ definierte differenzierbare Kurve ist. Zu jedem Zeitpunkt ${}t$ soll die Geschwindigkeit (also Ableitung) der Kurve mit dem durch das Vektorfeld vorgegebenen Richtungsvektor im Ortspunkt ${}\varphi (t)$ übereinstimmen und es soll die Anfangsbedingung ${}\varphi (0)=P$ erfüllt sein. Unter recht schwachen Bedingungen ist die Lösung einer solchen Differentialgleichung eindeutig. Wenn man den Punkt ${}P$ variiert, und die Lösungen zu jedem Anfangspunkt stets auf ganz ${}\mathbb {R}$ definiert sind, so ergibt sich insgesamt eine Abbildung

\Psi \colon \mathbb {R} \times M\longrightarrow M,\,(t,P)\longmapsto \Psi (t,P),

wobei

{}\Psi (t,P)=\varphi _{P}(t)\,

und ${}\varphi _{P}$ die Lösung der Differentialgleichung zum Startpunkt ${}P$ ist. Die Abbildung ${}\Psi$ enthält die volle Information über das Vektorfeld und alle Lösungen der zugehörigen Differentialgleichungen und heißt der Fluss zum Vektorfeld. Die Abbildung ${}\Psi (-,P)$ zu festem ${}P$ ergibt die Lösungskurve und die Abbildung

\Psi (t,-)\colon M\longrightarrow M

zu festem ${}t$ beschreibt, wohin ein Punkt ${}P$ durch die Differentialgleichung hintransportiert wird. Das Vektorfeld ${}F$ kann man über

{}F(P)=\partial _{t}{|}_{t=0}\Psi (t,P)=\varphi _{P}'(0)\,

ebenfalls aus ${}\Psi$ ablesen. Die zu einem fixierten ${}t$ gegebene Abbildung ${}\Psi (t,-)$ ist unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen ein Diffeomorphismus der Mannigfaltigkeit ${}M$ in sich. Dies kann man wiederum als eine Abbildung

\mathbb {R} \longrightarrow \operatorname {Diff} {\left(M,\,M\right)},\,t\longmapsto \Psi (t,-),

auffassen. Dabei gilt ${}\Psi (0,-)=\operatorname {Id} _{M}$ und

{}\Psi (s+t,-)=\Psi (s,-)\circ \Psi (t,-)\,

für ${}s,t\in \mathbb {R}$ . Das ist also ein Gruppenhomomorphismus der reellen additiven Gruppe in die Gruppe der Diffeomorphismen, man spricht von einer Einparametergruppe von Diffeomorphismen. Die begleitende Vorstellung ist dabei, dass die Identität mit Hilfe des Zeitparameters ${}t$ in einen komplizierteren Diffeomorphismus deformiert wird.

Im Allgemeinen sind die Lösungen zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung nicht auf ganz ${}\mathbb {R}$ definiert, sondern nur auf bestimmten Intervallen, die auch noch vom Startpunkt ${}P$ abhängen. Typischerweise ist dann ${}\Psi$ nicht auf ganz ${}\mathbb {R} \times M$ definiert, sondern, bei gegebenem Punkt ${}P\in M$ , auf einer Menge der Form ${}I\times U$ , wobei ${}I$ ein reelles Intervall mit ${}0\in I$ und ${}U\subseteq M$ eine offene Umgebung von ${}P$ ist. Der Fluss ist also immerhin in einer Umgebung des Punktes für ein gewisses Zeitintervall definiert. Die Morphismen sind von der Form ${}\Psi _{t}\colon U\rightarrow M$ und sind Diffeomorphismen auf das (offene) Bild.

Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}U\subseteq M$ eine offene Teilmenge und ${}0\in I=\mathbb {R}$ ein offenes Intervall. Eine differenzierbare Abbildung

\Psi \colon I\times U\longrightarrow M

heißt lokal einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

Für jedes ${}t\in I$ ist ${}\Psi _{t}\colon U\rightarrow M$ ein Diffeomorphismus auf die offene Menge ${}\Psi _{t}(U)$ .
Es ist ${}\Psi _{0}=\operatorname {Id} _{U}$ .
Für ${}s,t\in I$ mit ${}s+t\in I$ und ${}P\in U$ mit ${}\Psi _{t}(P)\in U$ gilt
${}\Psi _{s+t}(P)=\Psi _{s}(\Psi _{t}(P))\,.$