Direkter Summand/Spektrumsabbildung/Surjektiv/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}S\cong R\oplus V\,$

mit einem ${}R$-Modul ${}V$. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$. Nach Fakt ist auch

$\kappa ({\mathfrak {p}})\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}S=\kappa ({\mathfrak {p}})\oplus {\left(\kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}V\right)}$

ein direkter Summand. Daher ist ${}S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})\neq 0$ und somit ist nach Fakt  (7) und nach Fakt die Faser über ${}{\mathfrak {p}}$ nicht leer.

Zur bewiesenen Aussage