Dreiecksgeometrie/Mittelsenkrechte/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu zwei Punkten ${}A\neq B$ in der euklidischen Ebene nennt man die Gerade, die senkrecht auf der durch ${}A$ und ${}B$ gegebenen Gerade steht und durch den Mittelpunkt der Strecke zwischen ${}A$ und ${}B$ verläuft, die Mittelsenkrechte der Strecke.

Die Mittelsenkrechte wird durch

${\frac {A+B}{2}}+s(B-A)^{\perp },\,s\in \mathbb {R} ,$

beschrieben, wobei ${}(B-A)^{\perp }$ einen beliebigen, zu ${}B-A$ senkrechten Vektor ${}\neq 0$ bezeichnet. Wenn ${}A={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}$ und ${}B={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}$ in kartesischen Koordinaten gegeben sind, so ist die Mittelsenkrechte gleich

${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}b_{2}-a_{2}\\-b_{1}+a_{1}\end{pmatrix}},\,s\in \mathbb {R} .$

Lemma

Es seien ${}A,B$ verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene.

Dann besteht die Mittelsenkrechte zu ${}A$ und ${}B$ genau aus allen Punkten, die zu ${}A$ und ${}B$ den gleichen Abstand haben.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Satz

Die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem nichtausgearteten Dreieck der euklidischen Ebene

schneiden sich in einem Punkt.

Alle Eckpunkte des Dreiecks besitzen zu diesem Schnittpunkt den gleichen Abstand.

Beweis

Die Mittelsenkrechte zur Strecke zwischen ${}A$ und ${}B$ besteht nach Fakt genau aus allen Punkten der Ebene, die zu diesen beiden Punkten den gleichen Abstand besitzt. Der Schnittpunkt ${}P$ der Mittelsenkrechte zu ${}A$ und ${}B$ mit der Mittelsenkrechte zu ${}A$ und ${}C$ hat also zu allen drei Eckpunkten den gleichen Abstand. Dies ergibt den Zusatz und auch, dass sich alle drei Mittelsenkrechten in diesem Punkt treffen.

$\Box$

Definition

Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten in einem nichtausgearteten Dreieck in der euklidischen Ebene heißt Umkreismittelpunkt.

Der Umkreismittelpunkt ist der Mittelpunkt des Umkreises; das ist derjenige Kreis, der die drei Eckpunkte des Dreiecks (auf seiner Peripherie) enthält.