Ebene algebraische Kurve/Körper/Glatt/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Von (1) nach (2) ist klar, da die Glattheit ja eine Anforderung an jede Körpererweiterung ist. Es sei (2) erfüllt. Angenommen, das Ideal ${}(F,{\frac {\partial F}{\partial X}},{\frac {\partial F}{\partial Y}})$ sei nicht das Einheitsideal. Dann gibt es nach Fakt ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in ${}{\overline {K}}[X,Y]$ mit

${}(F,{\frac {\partial F}{\partial X}},{\frac {\partial F}{\partial Y}})\subseteq {\mathfrak {m}}\,.$

Da ${}{\overline {K}}$ algebraisch abgeschlossen ist, ist nach Fakt das Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ ein Punktideal, also von der Form  ${}{\mathfrak {m}}=(X-a,Y-b)$  mit  ${}a,b\in {\overline {K}}$.  Die Inklusionsbedingung

${}(F,{\frac {\partial F}{\partial X}},{\frac {\partial F}{\partial Y}})\subseteq (X-a,Y-b)\,$

bedeutet

${}F(a,b)={\frac {\partial F}{\partial X}}(a,b)={\frac {\partial F}{\partial Y}}(a,b)=0\,$

und somit ist  ${}P=(a,b)$  ein nichtglatter Punkt von ${}C_{\overline {K}}$, im Widerspruch zu (2). Von (3) nach (4) gilt für jedes Ideal (siehe Aufgabe). Von (4) nach (1). Sei  ${}K\subseteq L$  eine beliebige Körpererweiterung. Dann ist erst recht das Ideal ${}(F,{\frac {\partial F}{\partial X}},{\frac {\partial F}{\partial Y}})$ in ${}L[X,Y]$ das Einheitsideal. Für einen Punkt

${}P=(a,b)\in {\mathbb {A} }_{L}^{2}\,$

können dann nicht ${}F$ und die partiellen Ableitungen simultan verschwinden, es liegt also ein glatter Punkt vor.

Zur bewiesenen Aussage