Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität (ohne Nakayama)/Fakt/Beweis

Beweis

Die Implikation ${}(1)\Rightarrow (2)$ wurde in Fakt bewiesen. Die Äquivalenz ${}(2)\Leftrightarrow (3)$ wurde in Fakt bewiesen. Die Äquivalenz ${}(1)\Leftrightarrow (4)$ folgt aus der Definition der Multiplizität. Es bleibt also ${}(2)\Rightarrow (4)$ zu zeigen, wobei wir unter Verwendung von Fakt mit der Hilbert-Samuel Multiplizität arbeiten können. Es genügt also zu zeigen, dass für einen lokalen Ring einer ebenen algebraischen Kurve, der ein diskreter Bewertungsring ist, die Restklassenmoduln ${}{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}$ alle eindimensional über dem Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}\cong K$ sind. Sei ${}{\mathfrak {m}}=(\pi )$. Es ist ${}\pi ^{n}\in {\mathfrak {m}}^{n}$, aber ${}\pi ^{n}\not \in {\mathfrak {m}}^{n+1}$. Daher sind die Restklassenmoduln nicht null. Sei ${}g\in {\mathfrak {m}}^{n}$ mit zuhöriger Restklasse ${}{\bar {g}}\in {\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}$. Da wir in einem diskreten Bewertungsring sind, gilt ${}g=f\pi ^{n}$ mit ${}f\in K[X,Y]$. Es sei ${}f(P)\in K$ der Wert des Polynom ${}f$ im Punkt ${}P$. Wir betrachten

${}h=g-f(P)\pi ^{n}=(f-f(P))\pi ^{n}\,.$

Wegen ${}(f-f(P))(P)=0$ gehört ${}f-f(P)$ zum maximalen Ideal und daher ist ${}h\in (\pi ^{n+1})={\mathfrak {m}}^{n+1}$. Das heißt, dass modulo ${}{\mathfrak {m}}^{n+1}$ die Gleichheit ${}{\bar {g}}=f(P)\pi ^{n}$ gilt. Es ist also ${}\pi ^{n}$ ein Erzeuger von ${}{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}$.

Zur bewiesenen Aussage

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