Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Charakterisierung Transversaler Schnitt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Es sei der lokale Ring zum (Null-)Punkt in der Ebene. Sei zunächst der Schnitt als transversal vorausgesetzt. Dann sind insbesondere beide Kurven in glatt, und ist nach Fakt ein diskreter Bewertungsring. Da die Tangenten verschieden sind, können wir annehmen, dass die Tangente an durch und die Tangente an durch gegeben ist. Nach dem Beweis zu Fakt ist dann eine Ortsuniformisierende von . Da die Form mit hat, ist ebenfalls eine Ortsuniformisierende in und daher ist . Daher ist die Schnittmultiplizität eins.

Für die Rückrichtung folgt aus Fakt, dass die Multiplizität der beiden Kurven in eins sein muss und daher beide Kurven in glatt sind. Nehmen wir an, dass die Tangenten übereinstimmen. Dann können wir annehmen, dass sowohl als auch die Form Terme von größerem Grad besitzen. Man kann die Idealerzeuger durch ersetzen, und dabei ist . Dann erzeugt aber in

nicht das maximale Ideal, und die Schnittmultiplizität kann nicht eins sein.
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