Ebene monomiale Kurven/Neilsche Parabel/Singulärer Ort/Beispiel

Wir betrachten die durch das Polynom ${}V{\left(Y^{2}-X^{3}\right)}$ gegebene Neilsche Parabel über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 2,3$. Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial F}{\partial X}}=-3X^{2}{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=2Y.$

Wenn man diese ${}=0$ setzt, so folgt direkt, dass ${}(0,0)$ der einzige singuläre Punkt der Kurve ist und diese ansonsten glatt ist.