Ebene polynomiale Parametrisierungen/Kurvengleichung/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien $d$ und $e$ die Grade von $P$ und $Q$. Wir berechnen die Monome

$P^i{Q}^j.$

Dies sind Polynome in $T$ vom Grad $di+ej$. Zu  $i\le n$  und  $j\le m$  gibt es $(n+1)(m+1)$ solche Monome. Die Monome $P^i{Q}^j$, $i\le n$, $j\le m$, leben also allesamt in dem $dn+em+1$-dimensionalen $K$-Vektorraum, der von $1=T^0,T^1,T^2,\dots ,T^{dn+em}$ erzeugt wird. Bei  $(n+1)(m+1)>dn+em+1$  muss es also eine nicht-triviale lineare Abhängigkeit zwischen diesen $P^i{Q}^j$ geben. Diese ergibt ein Polynom  $F(X,Y)\ne 0$  mit  $F(P,Q)=0$. 

Die angegebene numerische Bedingung  $(n+1)(m+1)>dn+em+1$  lässt sich mit $n,m$ hinreichend groß erfüllen.

Von nun an sei $K$ unendlich. Der Zariski-Abschluss des Bildes  $B=\phi ({𝔸}_K^1)$  ist $V(\mathrm{Id}(B))$ nach Fakt und irreduzibel nach Fakt. Da $K$ unendlich ist und die Abbildung nicht konstant ist, muss wegen der Irreduzibilität auch $V(\mathrm{Id}(B))$ unendlich viele Punkte enthalten. Nach Fakt ist $\mathrm{Id}(B)$ ein Primideal und enthält nach dem ersten Teil ein $F\in \mathrm{Id}(B)$, $F\ne 0$. Da $K[X,Y]$ faktoriell ist, muss auch ein Primfaktor von $F$ dazu gehören, sodass wir annehmen können, dass $F$ ein Primpolynom ist. Wir haben die Inklusion

$B\subseteq \bar{B}=V(\mathrm{Id}(B))\subseteq V(F).$

Für ein  $H\in \mathrm{Id}(B)$  ist

$V(\mathrm{Id}(B))\subseteq V(H)\cap V(F)$

unendlich, sodass es nach Fakt einen gemeinsamen nichtkonstanten Faktor von $H$ und $F$ geben muss. Da $F$ prim ist, muss $H$ ein Vielfaches von $F$ sein und  $\mathrm{Id}(B)=(F)$. 

Zur bewiesenen Aussage