Ebene polynomiale Parametrisierungen/Kurvengleichung/Fakt/Beweis

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Beweis

Es seien und die Grade von und . Wir berechnen die Monome

Dies sind Polynome in vom Grad . Zu und gibt es solche Monome. Die Monome , leben also allesamt in dem -dimensionalen -Vektorraum, der von erzeugt wird. Bei muss es also eine nicht-triviale lineare Abhängigkeit zwischen diesen geben. Diese ergibt ein Polynom mit .

Die angegebene numerische Bedingung lässt sich mit hinreichend groß erfüllen.

Von nun an sei unendlich. Der Zariski-Abschluss des Bildes ist nach Fakt und irreduzibel nach Fakt. Da unendlich ist und die Abbildung nicht konstant ist, muss wegen der Irreduzibilität auch unendlich viele Punkte enthalten. Nach Fakt ist ein Primideal und enthält nach dem ersten Teil ein , . Da faktoriell ist, muss auch ein Primfaktor von dazu gehören, so dass wir annehmen können, dass ein Primpolynom ist. Wir haben die Inklusion

Für ein ist

unendlich, so dass es nach Fakt einen gemeinsamen nichtkonstanten Faktor von und geben muss. Da prim ist, muss ein Vielfaches von sein und .