Ebene polynomiale Parametrisierungen/Kurvengleichung/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}d$ und ${}e$ die Grade von ${}P$ und ${}Q$. Wir berechnen die Monome

$P^{i}Q^{j}.$

Dies sind Polynome in ${}T$ vom Grad ${}di+ej$. Zu ${}i\leq n$ und ${}j\leq m$ gibt es ${}(n+1)(m+1)$ solche Monome. Die Monome ${}P^{i}Q^{j}\,,i\leq n,\,j\leq m$, leben also allesamt in dem ${}dn+em+1$-dimensionalen ${}K$-Vektorraum, der von ${}1=T^{0},T^{1},T^{2},\ldots ,T^{dn+em}$ erzeugt wird. Bei ${}(n+1)(m+1)>dn+em+1$ muss es also eine nicht-triviale lineare Abhängigkeit zwischen diesen ${}P^{i}Q^{j}$ geben. Diese ergibt ein Polynom ${}F(X,Y)\neq 0$ mit ${}F(P,Q)=0$.

Die angegebene numerische Bedingung ${}(n+1)(m+1)>dn+em+1$ lässt sich mit ${}n,m$ hinreichend groß erfüllen.

Von nun an sei ${}K$ unendlich. Der Zariski-Abschluss des Bildes ${}B=\varphi ({\mathbb {A} }_{K}^{1})$ ist ${}V(\operatorname {Id} \,(B))$ nach Fakt und irreduzibel nach Fakt. Da ${}K$ unendlich ist und die Abbildung nicht konstant ist, muss wegen der Irreduzibilität auch ${}V(\operatorname {Id} \,(B))$ unendlich viele Punkte enthalten. Nach Fakt ist ${}\operatorname {Id} \,(B)$ ein Primideal und enthält nach dem ersten Teil ein ${}F\in \operatorname {Id} \,(B)$, ${}F\neq 0$. Da ${}K[X,Y]$ faktoriell ist, muss auch ein Primfaktor von ${}F$ dazu gehören, sodass wir annehmen können, dass ${}F$ ein Primpolynom ist. Wir haben die Inklusion

${}B\subseteq {\overline {B}}=V(\operatorname {Id} \,(B))\subseteq V(F)\,.$

Für ein ${}H\in \operatorname {Id} \,(B)$ ist

${}V(\operatorname {Id} \,(B))\subseteq V(H)\cap V(F)\,$

unendlich, sodass es nach Fakt einen gemeinsamen nichtkonstanten Faktor von ${}H$ und ${}F$ geben muss. Da ${}F$ prim ist, muss ${}H$ ein Vielfaches von ${}F$ sein und ${}\operatorname {Id} (B)=(F)$.

Zur bewiesenen Aussage