Ebene projektive Kurve/Grad/Kohomologisches Geschlecht/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die kurze exakte Sequenz (vergleiche Aufgabe)

$0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-d){\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}\longrightarrow 0$

von kohärenten Garben auf der projektiven Ebene. Die Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{C}$ der Kurve wird dabei als Garbe auf der projektiven Ebene aufgefasst, ihr Träger ist ${}C$. Wir betrachten den folgenden Ausschnitt der langen exakten Kohomologiesequenz

$H^{1}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}\right)}=0\longrightarrow H^{1}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{C}\right)}\longrightarrow H^{2}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-d)\right)}\longrightarrow H^{2}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}\right)}=0,$

wobei die Gleichung links und rechts auf Fakt beruht. Der Raum ${}H^{2}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(-d)\right)}$ besitzt, ebenfalls wegen Fakt, eine Basis, die aus sämtlichen Monomen ${}x^{i}y^{j}z^{k}$ besteht, deren Exponenten alle negativ sind und die Bedingung ${}i+j+k=-d$ erfüllen. Somit geht es um die Anzahl der Tupel ${}({\alpha },\beta ,\gamma )$ vom Grad ${}d-3$. Nach Aufgabe ist diese Anzahl gleich ${}{\binom {d-3+2}{2}}={\binom {d-1}{2}}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}$. Nach Fakt ist

${}H^{1}{\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{C}\right)}=H^{1}{\left(C,{\mathcal {O}}_{C}\right)}\,,$

was die Behauptung ergibt.

Zur bewiesenen Aussage