Ebene projektive Kurve/Grad/Kohomologisches Geschlecht/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir betrachten die kurze exakte Sequenz (vergleiche Aufgabe)

von kohärenten Garben auf der projektiven Ebene. Die Strukturgarbe der Kurve wird dabei als Garbe auf der projektiven Ebene aufgefasst, ihr Träger ist . Wir betrachten den folgenden Ausschnitt der langen exakten Kohomologiesequenz

wobei die Gleichung links und rechts auf Fakt beruht. Der Raum besitzt, ebenfalls wegen Fakt, eine Basis, die aus sämtlichen Monomen besteht, deren Exponenten alle negativ sind und die Bedingung erfüllen. Somit geht es um die Anzahl der Tupel vom Grad . Nach Aufgabe ist diese Anzahl gleich . Nach Fakt ist

was die Behauptung ergibt.

Zur bewiesenen Aussage