Ebene projektive monomiale Kurve/Singularität/Gesamtmultiplizität/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Die affine Gleichung ist , und nach Fakt wird der projektive Abschluss durch die Homogenisierung, also durch beschrieben.
  2. Auf der affinen Kurve ist nach Fakt nur der Nullpunkt, der dem projektiven Punkt entpricht, (eventuell) nicht glatt. Die Punkte auf der Kurve außerhalb von erhält man, indem man in der Gleichung setzt. Dies erzwingt , so dass es lediglich noch den Punkt gibt.
  3. Die Multiplizität in einem Punkt ist eine lokale Eigenschaft. Der Punkt entspricht dem Nullpunkt auf der affinen monomialen Kurve , deren Multiplizität im Nullpunkt nach Fakt gleich dem kleineren Exponenten, also gleich ist. Der Punkt liegt auf und dort ist die affine Gleichung. Die Multiplizität ist wieder der kleinere Exponent, also gleich .
  4. Folgt aus (3).
Zur bewiesenen Aussage