Ebene projektive monomiale Kurve/Singularität/Gesamtmultiplizität/Fakt/Beweis

Beweis

1. Die affine Gleichung ist ${}X^{d}-Y^{e}$, und nach Fakt wird der projektive Abschluss durch die Homogenisierung, also durch ${}V(X^{d}Z^{e-d}-Y^{e})$ beschrieben.
2. Auf der affinen Kurve ${}V(X^{d}-Y^{e})\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ ist nach Fakt nur der Nullpunkt, der dem projektiven Punkt ${}(0,0,1)$ entpricht, (eventuell) nicht glatt. Die Punkte auf der Kurve außerhalb von ${}D_{+}(Z)$ erhält man, indem man in der Gleichung ${}Z=0$ setzt. Dies erzwingt ${}Y=0$, sodass es lediglich noch den Punkt ${}(1,0,0)$ gibt.
3. Die Multiplizität in einem Punkt ist eine lokale Eigenschaft. Der Punkt ${}(0,0,1)$ entspricht dem Nullpunkt auf der affinen monomialen Kurve ${}V(X^{d}-Y^{e})$, deren Multiplizität im Nullpunkt nach Fakt gleich dem kleineren Exponenten, also gleich ${}d$ ist. Der Punkt ${}(1,0,0)$ liegt auf ${}D_{+}(X)$ und dort ist ${}V(Y^{e}-Z^{e-d})$ die affine Gleichung. Die Multiplizität ist wieder der kleinere Exponent, also gleich ${}e-d$.
4. Folgt aus (3).

Zur bewiesenen Aussage