Eigentheorie/R^2/Elementar/Beispiel

Eine lineare Abbildung von ${}\mathbb {R} ^{2}$ nach ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist bezüglich der Standardbasis durch eine ${}2\times 2$-Matrix gegeben. Wir betrachten die Eigenwerte zu einigen elementaren Beispielen. Eine Streckung ist durch ${}v\mapsto av$ mit einem Streckungsfaktor  ${}a\in \mathbb {R}$  gegeben. Jeder Vektor  ${}v\neq 0$  ist ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}a$ und der Eigenraum zu diesem Eigenwert ist ganz ${}\mathbb {R} ^{2}$. Es gibt neben ${}a$ keinen weiteren Eigenwert, sämtliche Eigenräume zu  ${}\lambda \neq a$  sind ${}0$. Die Identität besitzt den einzigen Eigenwert ${}1$.

Eine Achsenspiegelung an der ${}x$-Achse wird durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ beschrieben. Der Eigenraum zum Eigenwert ${}1$ ist die ${}x$-Achse, der Eigenraum zum Eigenwert ${}-1$ ist die ${}y$-Achse. Ein Vektor ${}(s,t)$ mit  ${}s,t\neq 0$  kann kein Eigenvektor sein, da die Gleichung

${}(s,-t)=\lambda (s,t)\,$

dann keine Lösung besitzt.

Eine ebene Drehung wird durch die Drehmatrix ${}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ zu einem Drehwinkel ${}\alpha$, ${}0\leq \alpha <2\pi$, gegeben. Bei  ${}\alpha =0$  liegt die Identität vor, bei  ${}\alpha =\pi$  liegt die Halbdrehung vor, also die Punktspiegelung bzw. die Streckung mit dem Faktor ${}-1$. Bei allen anderen Drehwinkeln wird keine Gerade auf sich selbst abgebildet, sodass diese Drehungen keine Eigenwerte und keine Eigenvektoren besitzen (und alle Eigenräume ${}0$ sind).