Eigentheorie/R^2/Elementar/Beispiel

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Eine lineare Abbildung von nach ist bezüglich der Standardbasis durch eine -Matrix gegeben. Wir betrachten die Eigenwerte zu einigen elementaren Beispielen. Eine Streckung ist durch mit einem Streckungsfaktor gegeben. Jeder Vektor ist ein Eigenvektor zum Eigenwert und der Eigenraum zu diesem Eigenwert ist ganz . Es gibt neben keinen weiteren Eigenwert, sämtliche Eigenräume zu sind . Die Identität besitzt den einzigen Eigenwert .

Eine Achsenspiegelung an der -Achse wird durch die Matrix beschrieben. Der Eigenraum zum Eigenwert ist die -Achse, der Eigenraum zum Eigenwert ist die -Achse. Ein Vektor mit kann kein Eigenvektor sein, da die Gleichung

dann keine Lösung besitzt.

Eine ebene Drehung wird durch die Drehmatrix zu einem Drehwinkel , , gegeben. Bei liegt die Identität vor, bei liegt die Halbdrehung vor, also die Punktspiegelung bzw. die Streckung mit dem Faktor . Bei allen anderen Drehwinkeln wird keine Gerade auf sich selbst abgebildet, so dass diese Drehungen keine Eigenwerte und keine Eigenvektoren besitzen (und alle Eigenräume sind).