Einheitskreis/R/Möbiusband/Ideal/Beispiel

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Wir betrachten den kommutativen Ring , der dem Einheitskreis in dem Sinne entspricht, dass die Primideale der Form darin den reellen Punkten des Kreis entsprechen. Dies ist ein Dedekindbereich, wobei die Normalität aus der Glattheit des Kreises folgt.

Das Möbiusband.

Das Ideal ist ein Primideal darin, das kein Hauptideal ist. Für das Produkt dieses Ideals mit sich selbst haben wir

wobei die Inklusion klar ist und sich die andere Inklusion aus

ergibt. Da in keine Quadratwurzel (und auch nicht multipliziert mit einer Einheit) besitzt, ist kein Hauptideal. Dieses Ideal ist eine algebraische Realisierung des Möbiusbandes (ein Ideal definiert eine invertierbare Garbe und ein Geradenbündel; das Möbiusband ist das nichttriviale Geradenbündel auf dem Einheitskreis).

Wir betrachten den Ringhomomorphismus

des Ringes in sich (wir schreiben rechts , um die unterschiedlichen Rollen zu betonen). Wegen

ist dies wohldefiniert (es handelt sich um die komplexe Quadrierung eingeschränkt auf den Einheitskreis). Es handelt sich um eine ganze Ringerweiterung. Das Erweiterungsideal zu ist

also ein Hauptideal. Dies beruht auf

und