Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel

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Es sei ein Körper, der eine primitive -te Einheitswurzel enthalte. Wir betrachten die Untergruppe

und die zugehörige Operation auf bzw. auf . Es handelt sich um eine zyklische Gruppe der Ordnung , die von

erzeugt wird. Die Operation von auf ist durch und gegeben. Offenbar sind

invariante Polynome unter dieser Gruppenoperation, die in der Beziehung

stehen. Dass diese drei Invarianten den Invariantenring erzeugen, sieht man am besten, wenn man die Situation graduiert realisiert. Dazu sei der Polynomring - graduiert, wobei den Grad und den Grad besitze. Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus

und die zugehörige -Graduierung des Polynomringes. Wir identifizieren die Charaktergruppe mit der obigen Gruppe , indem wir

mit identifizieren. Bei dieser Identifizierung entspricht die obige explizite Operation von auf der natürlichen Operation der Charaktergruppe gemäß Fakt. Nach Fakt ist der Invariantenring unter der -Operation gleich der neutralen Stufe unter der - Graduierung. Der Kern von wird durch erzeugt. Die zugehörigen Stufen bilden somit den Invariantenring. Der Invariantenring ist also .