Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, der eine primitive $n$-te Einheitswurzel $\xi$ enthalte. Wir betrachten die Untergruppe

$G=\{\left(\begin{array}{cc}\zeta & 0\\ 0& {\zeta }^{-1}\end{array}\right)\mid {\zeta }^n=1\}\subseteq {\mathrm{GL}}_2\left(K\right)$

und die zugehörige Operation auf $K^2$ bzw. auf $K[U,V]$. Es handelt sich um eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$, die von

$g=\left(\begin{array}{cc}\xi & 0\\ 0& {\xi }^{-1}\end{array}\right)$

erzeugt wird. Die Operation von $g$ auf $K[U,V]$ ist durch $U\mapsto \xi U$ und $V\mapsto {\xi }^{-1}V$ gegeben. Offenbar sind

$X=U^n,Y=V^n,Z=UV$

invariante Polynome unter dieser Gruppenoperation, die in der Beziehung

$XY=Z^n$

stehen. Dass diese drei Invarianten den Invariantenring erzeugen, sieht man am besten, wenn man die Situation graduiert realisiert. Dazu sei der Polynomring $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$-graduiert, wobei $U$ den Grad $(1,0)$ und $V$ den Grad $(0,1)$ besitze. Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus

$\delta :{\mathbb{Z}}^2⟶\mathbb{Z}/(n)=:D,(a,b)⟼a-b,$

und die zugehörige $D$-Graduierung des Polynomringes. Wir identifizieren die Charaktergruppe $D^{\vee }$ mit der obigen Gruppe $G$, indem wir

$\chi :D⟶K^{\times }$

mit $\left(\begin{array}{cc}\chi (1)& 0\\ 0& \chi (-1)\end{array}\right)$ identifizieren. Bei dieser Identifizierung entspricht die obige explizite Operation von $G$ auf $K[U,V]$ der natürlichen Operation der Charaktergruppe gemäß Fakt. Nach Fakt ist der Invariantenring unter der $G$-Operation gleich der neutralen Stufe unter der $D$-Graduierung. Der Kern von $\delta$ wird durch $(n,0),(0,n),(1,1)$ erzeugt. Die zugehörigen Stufen bilden somit den Invariantenring. Der Invariantenring ist also $K[U^n,V^n,UV]$.