Einheitswurzeln/Komplex/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein Körper und . Dann heißen die Nullstellen des Polynoms

in die -ten Einheitswurzeln in .

Die ist für jedes eine -te Einheitswurzel, und die ist für jedes gerade eine -te Einheitswurzel. Es gibt maximal -te Einheitswurzeln, da das Polynom maximal Nullstellen besitzt. Die Einheitswurzeln bilden also insbesondere eine endliche Untergruppe (mit und ist auch , usw.) der Einheitengruppe des Körpers. Nach Fakt ist diese Gruppe zyklisch mit einer Ordnung, die teilt.


Definition  

Eine -te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung besitzt.

Man beachte, dass ein Erzeuger der Gruppe der Einheitswurzeln nur dann primitiv heißt, wenn es verschiedene Einheitswurzeln gibt. Wenn eine primitive -te Einheitswurzel ist, so sind genau die  mit und teilerfremd zu die primitiven Einheitswurzeln. Insbesondere gibt es, wenn es überhaupt primitive Einheitswurzeln gibt, genau primitive Einheitswurzeln, wobei die eulersche -Funktion bezeichnet. Die komplexen Einheitswurzeln lassen sich einfach beschreiben.



Lemma  

Sei .

Die Nullstellen des Polynoms über sind

In gilt die Faktorisierung

Beweis  

Der Beweis verwendet einige Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion. Es ist

Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms . Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus

mit sofort durch betrachten des Quotienten folgt, und daraus

Es gibt also explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus der eulerschen Formel.


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