Elementare und algebraische Zahlentheorie/12/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 3 5 4 4 3 4 0 0 0 0 0 0 0 31



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine zyklische Gruppe .
  2. Eine Carmichael-Zahl.
  3. Ein endlicher Körper.
  4. Ein Divisor zu einem Zahlbereich .
  5. Eine zentralsymmetrische Teilmenge .
  6. Die Äquivalenz von binären quadratischen Formen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der zweite Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
  2. Der Satz über gerade vollkommene Zahlen.
  3. Der Satz über die Charakterisierung eines diskreten Bewertungsringes.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:

  1. ist negativ.
  2. ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
  3. ist kein Vielfaches von .
  4. ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
  5. In der Primfaktorzerlegung von gibt es keine Primzahl, die größer als ist.

Was ist ?


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

ein Ideal in ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe eine surjektive Abbildung

an, die mit der Multiplikation verträglich (also ein Monoidhomomorphismus) ist, aber kein Ringhomomorphismus ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe zyklisch ist, dass ein Quadratrest modulo genau dann ist, wenn ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Suchen Sie für die folgenden zusammengesetzten Zahlen eine zu teilerfremde Zahl derart, dass in gilt.

a) .

b) .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)