Elementare und algebraische Zahlentheorie/15/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 40 }
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\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Einheit} {} $u$ in einem kommutativen Ring $R$.
}{Eine \stichwort {multiplikative} {} \definitionsverweis {zahlentheoretische Funktion}{}{.}
}{Die \stichwort {Normalisierung} {} eines Integritätsbereiches $R$.
}{Die \stichwort {Diskriminante} {} eines Zahlbereichs $R$.
}{Ein \stichwort {gebrochenes Ideal} {} ${\mathfrak f}$ zu einem \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
}{Die \stichwort {Darstellbarkeit} {} einer ganzen Zahl $n$ durch eine binäre quadratische Form. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Ein Element $u$ heißt Einheit, wenn es ein Element
\mathl{v \in R}{} mit
\mathl{uv=1}{} gibt.
}{Eine
\definitionsverweis {zahlentheoretische Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\N_+} {{\mathbb C}
} {}
heißt
multiplikativ,
wenn für
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
Zahlen
\mathl{m,n}{} stets
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(mn)
}
{ =} { f(m) f(n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Man nennt den
\definitionsverweis {ganzen Abschluss}{}{}
von $R$ im Quotientenkörper
\mathl{Q(R)}{} die Normalisierung von $R$.
}{Man nennt die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
einer Ganzheitsbasis von $R$ die Diskriminante von $R$.
}{Man nennt einen endlich erzeugten
$R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
${\mathfrak f}$ des
\definitionsverweis {Quotientenkörpers}{}{}
\mathl{Q(R)}{} ein gebrochenes Ideal.
}{Man sagt, dass eine ganze Zahl $n$ durch eine
\definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{}
\mathdisp {aX^2+bXY+cY^2} { }
darstellbar
ist, wenn es ganze Zahlen
\mathl{(x,y) \in \Z^2}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {ax^2+bxy+cy^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Anzahl/Fakt/Name}{Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Fakt/Name}{Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ideal und konjugiertes Ideal/Produktbeschreibung/Fakt/Name}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Dann gibt es
\mathl{\frac{p+1}{2}}{} quadratische Reste modulo $p$ und
\mathl{\frac{p-1}{2}}{} nichtquadratische Reste modulo $p$.}{Es gibt Konstanten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ > }{c
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die
\definitionsverweis {Primzahlfunktion}{}{}
\mathl{\pi(x)}{} für alle $x$ den Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c \frac{x}{\ln(x)}
}
{ \leq} {\pi(x)
}
{ \leq} {C \frac{x}{\ln(x)}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genügt.}{Es sei $A_D$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{}
und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $A_D$. Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} \overline{ {\mathfrak a} }
}
{ =} {( N({\mathfrak a}) )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestätige die folgende Identität.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^7 + 17^3
}
{ =} { 71^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^7
}
{ =} { 128
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{17^3
}
{ =} { 289 \cdot 17
}
{ =} { 4913
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^7 +17^3
}
{ =} { 128 + 4913
}
{ =} { 5041
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Andererseits ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 71 \cdot 71
}
{ =} { 5041
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $71894$ und $45327$.
}
{
Der Euklidische Algorithmus liefert:
\mathdisp {71894 = 1 \cdot 45327 + 26567} { }
\mathdisp {45327 = 1 \cdot 26567 + 18760} { }
\mathdisp {26567 = 1 \cdot 18760 + 7807} { }
\mathdisp {18760 = 2 \cdot 7807 + 3146} { }
\mathdisp {7807 = 2 \cdot 3146 + 1515} { }
\mathdisp {3146 = 2 \cdot 1515 + 116} { }
\mathdisp {1515 = 13 \cdot 116 + 7} { }
\mathdisp {116 = 16 \cdot 7 + 4} { }
\mathdisp {7 = 1 \cdot 4 + 3} { }
\mathdisp {4 = 1 \cdot 3 + 1} { . }
Die Zahlen
\mathkor {} {71894} {und} {45327} {}
sind also teilerfremd.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die kleinste natürliche Zahl
\mathl{\geq 2}{,} die nicht
\definitionsverweis {prim}{}{}
ist und die außer $1$ keinen Teiler kleiner als $10$ besitzt.
}
{
Die Zahl besitzt jedenfalls eine Primfaktorzerlegung, in der
\mathl{2,3,5,7}{} nicht vorkommen. Der kleinste mögliche Primfaktor ist somit $11$. Da es keine Primzahl sein darf, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{11^2
}
{ =} {121
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die kleinste Möglichkeit.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1+2+3
}
{ = }{1 \cdot 2 \cdot 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Gibt es neben der $1$ weitere natürliche
\zusatzklammer {ganze, reelle, komplexe} {} {}
Zahlen $x$, die die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+ (x+1) +(x+2)
}
{ =} {x \cdot (x+1) \cdot (x+2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen?
}
{
Es gibt noch die ganzzahligen Lösungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {Summe und Produkt der drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist $-6$} {} {}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {Summe und Produkt der drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist $0$} {} {.}
Die Gleichung ist eine polynomiale Gleichung vom Grad $3$, daher gibt es über einem beliebigen Körper keine weiteren Lösungen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich $R$.
}
{
Angenommen, wir haben eine Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{ab
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Primeigenschaft teilt $p$ einen Faktor, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ps
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{psb
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p(1-sb)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $p$ kein Nullteiler ist, folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ = }{sb
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sodass also $b$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2 }{ n } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ a } } + { \frac{ 1 }{ b } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\N$ auch Lösungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \neq }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{
Beispielsweise ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 10 } } + { \frac{ 1 }{ 15 } }
}
{ =} { { \frac{ 3+2 }{ 30 } }
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 30 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 12 } }
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathl{f(x)}{} ein Polynom mit Koeffizienten in
\mathl{\Z/(p)}{} vom Grad
\mathl{d \geq p}{.} Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $< p$ derart gibt, dass für alle Elemente
\mathl{a \in \Z/(p)}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(a)
}
{ =} {g(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Wir führen im Polynomring
\mathl{(\Z/(p) )[X]}{} die Division mit Rest von $f$ durch
\mathl{X^p-X}{} durch und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} {(X^p-X)q +g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist $g=0$ oder aber der Grad von $g$ ist $d < p$
\zusatzklammer {das Nullpolynom habe jeden Grad} {} {.}
Setzt man links und rechts ein Element
\mathl{a \in \Z/(p)}{} ein, so ist stets
\mathl{a^p=a}{} nach dem kleinen Fermat, d.h. der linke Summand ist immer null und damit stimmen
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
an diesen Stellen überein.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+1+1)}
{
Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt
\mathl{\Z/(31)}{?}
Wie viele Elemente besitzt
\mathl{\Z/(31)}{,} die weder primitiv noch ein Quadrat sind?
Es sei $x$ ein primitives Element von
\mathl{\Z/(31)}{.} Liste explizit alle Elemente $x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.
}
{
Es gibt $16$ Quadrate.
\mathl{\varphi(30) = \varphi(2\cdot 3 \cdot 5) = 2 \cdot 4 =8}{,} also gibt es $8$ primitive Elemente.
Ein Quadrat ist nicht primitiv. Deshalb gibt es
\mathl{8+16=24}{} Elemente, die ein Quadrat oder primitiv sind. Es verbleiben $7$ Elemente, die weder ein Quadrat noch primitiv sind.
Es sei $x$ primitiv. Ein Element der Form $x^{i}$ ist genau dann primitiv, wenn $i$ und $30$ teilerfremd sind. Es ist genau dann ein Quadrat, wenn $i$ gerade ist. Gesucht sind also die ungeraden Zahlen $\leq 30$, die nicht teilerfremd zu $30$ sind. Sie müssen also $3$ oder $5$ als Teiler haben. Damit verbleiben
\mathl{i=3,5,9,15,21,25,27}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bestimme, ob die reelle Zahl
\mathdisp {\sqrt{1000000000000000000000000000}} { }
rational ist oder nicht.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{1000000000000000000000000000}
}
{ =} { \sqrt{10^{27} }
}
{ =} { 10^{13} \cdot \sqrt{10}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht rational nach
Fakt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass das Produkt von $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von $n!$ geteilt wird.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \prod_{j = 1}^n (k+j)
}
{ =} { { \frac{ (k+n)! }{ k! } }
}
{ =} { n ! { \frac{ (k+n)! }{ n! k! } }
}
{ =} { n! \binom { k+n } { k }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da der Binomialkoeffizient
\mathl{\binom { k+n } { k }}{} eine ganze Zahl ist, folgt, dass das Produkt der $n$ aufeinanderfolgenden Zahlen von $n!$ geteilt wird.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige, dass das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^4-2
}
{ \in} { \Z/(3) [X]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^4+1
}
{ =} { { \left( X^2+X+2 \right) } { \left( X^2+2X+2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+1+2)}
{
a) Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { \Z/(7) [T]/(T^3-2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Körper mit $343$ Elementen gegeben ist.
b) Berechne in $K$ das Produkt $(T^2+2T+4)(2T^2+5)$.
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu $T+1$.
}
{
a) Es ist
\mathdisp {1^3=1,\, 2^3 =1, \, 3^3=6, \, 4^3= 1, \,5^3= 6, \, 6^3=6} { . }
Also besitzt das Polynom
\mathl{T^3-2}{} keine Nullstelle in $\Z/(7)$
und ist somit irreduzibel, also ist
\mathl{\Z/(7)[T]/(T^3-2)}{} ein Körper. Die Restklassen von $1,T,T^2$ bilden eine $\Z/(7)$-Basis, sodass dieser Körper $7^3=343$ Elemente besitzt.
b) Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(T^2+2T+4)(2T^2+5)
}
{ =} {2T^4 + 4 T^3 + 6 T^2 +3T + 6
}
{ =} {4T + 1 + 6 T^2 +3T + 6
}
{ =} {6 T^2
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
c) Polynomdivision liefert
\mathdisp {T^3-2 = (T^2 +6 T + 1)(T+1) + 4} { . }
In $K$ gilt somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (T+1) (T^2+6T+1)
}
{ =} { 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Inverse von $3$ in $\Z/(7)$ ist $5$, also ist
\mathdisp {5T^2+2T+5} { }
das Inverse von $T+1$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Wir betrachten im
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{A_{-5}
}
{ = }{ \Z[\sqrt{-5}]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ = }{(2,1+\sqrt{-5})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige direkt, dass das Ideal
\mathl{{\mathfrak p} R_{\mathfrak p}}{} in der
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{R_{\mathfrak p}}{} ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1+ \sqrt{-5} \right) } { \left( 1- \sqrt{-5} \right) }
}
{ =} { 6
}
{ =} {2 \cdot 3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mathl{3 \notin {\mathfrak p}}{,} da sonst das Einheitsideal vorliegen würde. Also ist $3$ in der Lokalisierung
\mathl{R_{\mathfrak p}}{} eine Einheit und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } { \left( 1- \sqrt{-5} \right) } { \left( 1+ \sqrt{-5} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mathl{1+ \sqrt{-5}}{} ein Erzeuger von
\mathl{{\mathfrak p} R_{\mathfrak p}}{.}
}