Elementare und algebraische Zahlentheorie/15/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 2 2 2 4 3 1 3 3 4 0 2 0 0 35




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Einheit in einem kommutativen Ring .
  2. Eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.
  3. Die Normalisierung eines Integritätsbereiches .
  4. Die Diskriminante eines Zahlbereichs .
  5. Ein gebrochenes Ideal zu einem Zahlbereich.
  6. Die Darstellbarkeit einer ganzen Zahl durch eine binäre quadratische Form.


Lösung

  1. Ein Element heißt Einheit, wenn es ein Element mit gibt.
  2. Eine zahlentheoretische Funktion

    heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen stets

    gilt.

  3. Man nennt den ganzen Abschluss von im Quotientenkörper die Normalisierung von .
  4. Man nennt die Diskriminante einer Ganzheitsbasis von die Diskriminante von .
  5. Man nennt einen endlich erzeugten -Untermodul des Quotientenkörpers ein gebrochenes Ideal.
  6. Man sagt, dass eine ganze Zahl durch eine binäre quadratische Form

    darstellbar ist, wenn es ganze Zahlen mit

    gibt.


Aufgabe (3 Punkte)


Lösung

  1. Sei eine ungerade Primzahl. Dann gibt es quadratische Reste modulo und nichtquadratische Reste modulo .
  2. Es gibt Konstanten derart, dass die Primzahlfunktion für alle den Abschätzungen
    genügt.
  3. Sei ein quadratischer Zahlbereich und sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann gilt


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Lösung

Der Euklidische Algorithmus liefert:

Die Zahlen und sind also teilerfremd.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl , die nicht prim ist und die außer keinen Teiler kleiner als besitzt.


Lösung

Die Zahl besitzt jedenfalls eine Primfaktorzerlegung, in der nicht vorkommen. Der kleinste mögliche Primfaktor ist somit . Da es keine Primzahl sein darf, ist

die kleinste Möglichkeit.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich .


Lösung

Angenommen, wir haben eine Zerlegung . Wegen der Primeigenschaft teilt einen Faktor, sagen wir . Dann ist bzw. . Da kein Nullteiler ist, folgt , so dass also eine Einheit ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

in auch Lösungen besitzt.


Lösung

Beispielsweise ist


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit

gilt.


Lösung

Wir führen im Polynomring die Division mit Rest von durch durch und erhalten

Dabei ist oder aber der Grad von ist (das Nullpolynom habe jeden Grad). Setzt man links und rechts ein Element ein, so ist stets nach dem kleinen Fermat, d.h. der linke Summand ist immer null und damit stimmen und an diesen Stellen überein.


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ?

Wie viele Elemente besitzt , die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Sei ein primitives Element von . Liste explizit alle Elemente auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.


Lösung

Es gibt Quadrate. , also gibt es primitive Elemente.

Ein Quadrat ist nicht primitiv. Deshalb gibt es Elemente, die ein Quadrat oder primitiv sind. Es verbleiben Elemente, die weder ein Quadrat noch primitiv sind.

Sei primitiv. Ein Element der Form ist genau dann primitiv, wenn und teilerfremd sind. Es ist genau dann ein Quadrat, wenn gerade ist. Gesucht sind also die ungeraden Zahlen , die nicht teilerfremd zu sind. Sie müssen also oder als Teiler haben. Damit verbleiben .


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme, ob die reelle Zahl

rational ist oder nicht.


Lösung

Es ist

nicht rational nach Fakt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei . Zeige, dass das Produkt von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von geteilt wird.


Lösung

Es ist

Da der Binomialkoeffizient eine ganze Zahl ist, folgt, dass das Produkt der aufeinanderfolgenden Zahlen von geteilt wird.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

nicht irreduzibel ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Zeige, dass durch

ein Körper mit Elementen gegeben ist.

b) Berechne in das Produkt .

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu .


Lösung

a) Es ist

Also besitzt das Polynom keine Nullstelle in und ist somit irreduzibel, also ist ein Körper. Die Restklassen von bilden eine -Basis, so dass dieser Körper Elemente besitzt.

b) Es ist

c) Polynomdivision liefert

In gilt somit

Das Inverse von in ist , also ist
das Inverse von .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich das Primideal . Zeige direkt, dass das Ideal in der Lokalisierung ein Hauptideal ist.


Lösung

Es ist

Es ist , da sonst das Einheitsideal vorliegen würde. Also ist in der Lokalisierung eine Einheit und es ist

und somit ist ein Erzeuger von .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung