Elementare und algebraische Zahlentheorie/15/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	5	3	2	5	7	2	4	3	1	3	3	4	55

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Eine Einheit ${}u$ in einem kommutativen Ring ${}R$ .
Eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.
Die Normalisierung eines Integritätsbereiches ${}R$ .
Die Diskriminante eines Zahlbereichs ${}R$ .
Ein gebrochenes Ideal ${}{\mathfrak {f}}$ zu einem Zahlbereich.
Die Darstellbarkeit einer ganzen Zahl ${}n$ durch eine binäre quadratische Form.

Lösung

Ein Element ${}u$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit ${}uv=1$ gibt.
Eine zahlentheoretische Funktion
$f\colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen ${}m,n$ stets

${}f(mn)=f(m)f(n)\,$

gilt.
Man nennt den ganzen Abschluss von ${}R$ im Quotientenkörper ${}Q(R)$ die Normalisierung von ${}R$ .
Man nennt die Diskriminante einer Ganzheitsbasis von ${}R$ die Diskriminante von ${}R$ .
Man nennt einen endlich erzeugten ${}R$ -Untermodul ${}{\mathfrak {f}}$ des Quotientenkörpers ${}Q(R)$ ein gebrochenes Ideal.
Man sagt, dass eine ganze Zahl ${}n$ durch eine binäre quadratische Form
$aX^{2}+bXY+cY^{2}$

darstellbar ist, wenn es ganze Zahlen ${}(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ mit

${}n=ax^{2}+bxy+cy^{2}\,$

gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Lösung

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl. Dann gibt es ${}{\frac {p+1}{2}}$ quadratische Reste modulo ${}p$ und ${}{\frac {p-1}{2}}$ nichtquadratische Reste modulo ${}p$ .
Es gibt Konstanten ${}C>c>0$ derart, dass die Primzahlfunktion ${}\pi (x)$ für alle ${}x$ den Abschätzungen
${}c{\frac {x}{\ln(x)}}\leq \pi (x)\leq C{\frac {x}{\ln(x)}}\,$
genügt.
Es sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}A_{D}$ . Dann gilt
${}{\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}=(N({\mathfrak {a}}))\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.

{}2^{7}+17^{3}=71^{2}\,.

Lösung

Es ist

{}2^{7}=128\,

und

{}17^{3}=289\cdot 17=4913\,

und somit

{}2^{7}+17^{3}=128+4913=5041\,.

Andererseits ist

{}71\cdot 71=5041\,.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}71894$ und ${}45327$ .

Lösung

Der Euklidische Algorithmus liefert:

71894=1\cdot 45327+26567

45327=1\cdot 26567+18760

26567=1\cdot 18760+7807

18760=2\cdot 7807+3146

7807=2\cdot 3146+1515

3146=2\cdot 1515+116

1515=13\cdot 116+7

116=16\cdot 7+4

7=1\cdot 4+3

4=1\cdot 3+1.

Die Zahlen ${}71894$ und ${}45327$ sind also teilerfremd.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl ${}\geq 2$ , die nicht prim ist und die außer ${}1$ keinen Teiler kleiner als ${}10$ besitzt.

Lösung

Die Zahl besitzt jedenfalls eine Primfaktorzerlegung, in der ${}2,3,5,7$ nicht vorkommen. Der kleinste mögliche Primfaktor ist somit ${}11$ . Da es keine Primzahl sein darf, ist

{}11^{2}=121\,

die kleinste Möglichkeit.

Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)

a) Bestimme die kanonische Produktzerlegung des Restklassenringes ${}\mathbb {Z} /(180)$ .

b) Bestimme die Anzahl der Einheiten in ${}\mathbb {Z} /(180)$ .

c) Berechne das Bild von ${}77$ in der kanonischen Zerlegung. Begründe, dass ${}77$ eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(180)$ ist.

d) Bestimme die multiplikative Ordnung von ${}77$ in ${}\mathbb {Z} /(180)$ .

Lösung

a) Wegen

{}180=4\cdot 9\cdot 5\,

ist

{}\mathbb {Z} /(180)\cong \mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(9)\times \mathbb {Z} /(5)\,.

b) Die Anzahl der Einheiten in den einzelnen Gruppen sind der Reihe nach ${}2,6,4$ , daher gibt es insgesamt ${}48$ Einheiten in ${}\mathbb {Z} /(180)$ .

c) Das zu ${}77$ gehörige Restetupel ist ${}\left(1,\,5,\,2\right)$ . Da diese Reste jeweils Einheiten sind, ist ${}77$ eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(180)$ .

d) Wir berechnen die Ordnungen in den einzelnen Komponenten. ${}1$ hat die Ordnung ${}1$ in ${}{\left(\mathbb {Z} /(4)\right)}^{\times }$ . In ${}{\left(\mathbb {Z} /(9)\right)}^{\times }$ ist ${}5\cdot 5=7$ ,

{}5^{3}=7\cdot 5=8\neq 1\,.

Deshalb muss die Ordnung nach Fakt gleich ${}6$ sein. In ${}{\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }$ ist ${}2\cdot 2=4\neq 1$ , daher ist die Ordnung gleich ${}4$ . Die multiplikative Ordnung von ${}77$ ist das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Einzelordnungen, also gleich ${}12$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Es ist ${}1+2+3=1\cdot 2\cdot 3$ . Gibt es neben der ${}1$ weitere natürliche (ganze, reelle, komplexe) Zahlen ${}x$ , die die Gleichung

{}x+(x+1)+(x+2)=x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\,

erfüllen?

Lösung

Es gibt noch die ganzzahligen Lösungen

{}x=-3\,

(Summe und Produkt der drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist ${}-6$ ) und

{}x=-1\,

(Summe und Produkt der drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist ${}0$ ). Die Gleichung ist eine polynomiale Gleichung vom Grad ${}3$ , daher gibt es über einem beliebigen Körper keine weiteren Lösungen.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich ${}R$ .

Lösung

Angenommen, wir haben eine Zerlegung ${}p=ab$ . Wegen der Primeigenschaft teilt ${}p$ einen Faktor, sagen wir ${}a=ps$ . Dann ist ${}p=psb$ bzw. ${}p(1-sb)=0$ . Da ${}p$ kein Nullteiler ist, folgt ${}1=sb$ , sodass also ${}b$ eine Einheit ist.

Aufgabe (5 (1+2+1+1) Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl ${}\geq 2$ . Unter einer Teilerkette von ${}n$ verstehen wir eine Folge ${}n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}$ von Teilern von ${}n$ , wobei stets ${}n_{i}$ die folgende Zahl ${}n_{i+1}$ teilt, aber nicht mit dieser übereinstimmt.

a) Finde eine Teilerkette von ${}20$ , in der genau vier Zahlen stehen.

b) Charakterisiere, in Abhängigkeit von der Primfaktorzerlegung von ${}n$ , wie lange die maximalen Teilerketten sind.

c) Für welche natürliche Zahlen gibt es nur eine Teilerkette maximaler Länge?

d) Wie viele Teilerketten maximaler Länge besitzt ${}100$ ?

Lösung Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (7 (2+1+2+2) Punkte)

Zeige, dass für natürliche Zahlen ${}a,b,g$ folgende Aussagen gelten.

Für teilerfremde ${}a,b$ ist
${}\operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.$
Es gibt ${}c,d\in \mathbb {Z}$ mit
$a=c\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\,\,{\text{ und }}\,\,b=d\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b),$

wobei ${}c,d$ teilerfremd sind.
Es ist
${}\operatorname {kgV} \,(ga,gb)=g\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)\,.$
Es ist
${}\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.$

Lösung

Zunächst ist natürlich das Produkt ${}ab$ ein gemeinsames Vielfaches von ${}a$ und ${}b$ . Es sei also ${}f$ irgendein gemeinsames Vielfaches, also ${}f=ua$ und ${}f=vb$ . Nach Fakt gibt es im teilerfremden Fall Zahlen ${}r,s\in \mathbb {Z}$ mit ${}ra+sb=1$ . Daher ist
${}f=f\cdot 1=f(ra+sb)=fra+fsb=vbra+uasb=(vr+us)ab\,$

ein Vielfaches von ${}ab$ .
Die Existenz von ${}c$ und ${}d$ ist klar. Hätten ${}c$ und ${}d$ einen gemeinsamen Teiler ${}e\neq 1,-1$ , so ergäbe sich sofort der Widerspruch, dass ${}e\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)$ ein größerer gemeinsamer Teiler von ${}a$ und ${}b$ wäre.
Die rechte Seite ist offenbar ein gemeinsames Vielfaches von ${}ga$ und ${}gb$ . Es sei ${}n$ ein Vielfaches der linken Seite, also ein gemeinsames Vielfaches von ${}ga$ und ${}gb$ . Dann kann man ${}n=uga$ und ${}n=vgb$ schreiben. Damit ist ${}uga=vgb$ und somit ist ${}k:=ua=vb$ (bei ${}g\neq 0$ ; bei ${}g=0$ ist die Behauptung direkt klar) ein gemeinsames Vielfaches von ${}a$ und ${}b$ . Also ist ${}n=gk$ ein Vielfaches der rechten Seite.
Wir schreiben unter Verwendung der ersten Teile
${}{\begin{aligned}\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)&=\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(c\cdot (\operatorname {ggT} \,(a,b)),d\cdot (\operatorname {ggT} \,(a,b)))\\&=\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(c,d)\\&=\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot cd\\&=c\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot d\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\\&=ab.\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

{}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,

in ${}\mathbb {N}$ auch Lösungen ${}a\neq b$ besitzt.

Lösung

Beispielsweise ist

{}{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {3+2}{30}}={\frac {5}{30}}={\frac {1}{6}}={\frac {2}{12}}\,.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in ${}\mathbb {Z} /(p)$ vom Grad ${}d\geq p$ . Zeige, dass es ein Polynom ${}g(x)$ mit einem Grad ${}<p$ derart gibt, dass für alle Elemente ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ die Gleichheit

{}f(a)=g(a)\,

gilt.

Lösung

Wir führen im Polynomring ${}(\mathbb {Z} /(p))[X]$ die Division mit Rest von ${}f$ durch ${}X^{p}-X$ durch und erhalten

{}f=(X^{p}-X)q+g\,.

Dabei ist ${}g=0$ oder aber der Grad von ${}g$ ist ${}d<p$ (das Nullpolynom habe jeden Grad). Setzt man links und rechts ein Element ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ ein, so ist stets ${}a^{p}=a$ nach dem kleinen Fermat, d.h. der linke Summand ist immer null und damit stimmen ${}f$ und ${}g$ an diesen Stellen überein.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ${}\mathbb {Z} /(31)$ ?

Wie viele Elemente besitzt ${}\mathbb {Z} /(31)$ , die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Es sei ${}x$ ein primitives Element von ${}\mathbb {Z} /(31)$ . Liste explizit alle Elemente ${}x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.

Lösung

Es gibt ${}16$ Quadrate. ${}\varphi (30)=\varphi (2\cdot 3\cdot 5)=2\cdot 4=8$ , also gibt es ${}8$ primitive Elemente.

Ein Quadrat ist nicht primitiv. Deshalb gibt es ${}8+16=24$ Elemente, die ein Quadrat oder primitiv sind. Es verbleiben ${}7$ Elemente, die weder ein Quadrat noch primitiv sind.

Es sei ${}x$ primitiv. Ein Element der Form ${}x^{i}$ ist genau dann primitiv, wenn ${}i$ und ${}30$ teilerfremd sind. Es ist genau dann ein Quadrat, wenn ${}i$ gerade ist. Gesucht sind also die ungeraden Zahlen ${}\leq 30$ , die nicht teilerfremd zu ${}30$ sind. Sie müssen also ${}3$ oder ${}5$ als Teiler haben. Damit verbleiben ${}i=3,5,9,15,21,25,27$ .

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme, ob die reelle Zahl

{\sqrt {1000000000000000000000000000}}

rational ist oder nicht.

Lösung

Es ist

{}{\sqrt {1000000000000000000000000000}}={\sqrt {10^{27}}}=10^{13}\cdot {\sqrt {10}}\,

nicht rational nach Fakt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Zeige, dass das Produkt von ${}n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von ${}n!$ geteilt wird.

Lösung

Es ist

{}\prod _{j=1}^{n}(k+j)={\frac {(k+n)!}{k!}}=n!{\frac {(k+n)!}{n!k!}}=n!{\binom {k+n}{k}}\,.

Da der Binomialkoeffizient ${}{\binom {k+n}{k}}$ eine ganze Zahl ist, folgt, dass das Produkt der ${}n$ aufeinanderfolgenden Zahlen von ${}n!$ geteilt wird.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

{}X^{4}-2\in \mathbb {Z} /(3)[X]\,

nicht irreduzibel ist.

Lösung

Es ist

{}X^{4}+1={\left(X^{2}+X+2\right)}{\left(X^{2}+2X+2\right)}\,.

Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Zeige, dass durch

{}K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,

ein Körper mit ${}343$ Elementen gegeben ist.

b) Berechne in ${}K$ das Produkt ${}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)$ .

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu ${}T+1$ .

Lösung

a) Es ist

1^{3}=1,\,2^{3}=1,\,3^{3}=6,\,4^{3}=1,\,5^{3}=6,\,6^{3}=6.

Also besitzt das Polynom ${}T^{3}-2$ keine Nullstelle in ${}\mathbb {Z} /(7)$ und ist somit irreduzibel, also ist ${}\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)$ ein Körper. Die Restklassen von ${}1,T,T^{2}$ bilden eine ${}\mathbb {Z} /(7)$ -Basis, sodass dieser Körper ${}7^{3}=343$ Elemente besitzt.