Elementare und algebraische Zahlentheorie/16/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	0	0	1	0	4	4	3	0	4	0	0	0	0	24

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein euklidischer Bereich ${}R$.
2. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
3. Das Legendre-Symbol.
4. Die Riemannsche Zetafunktion.
5. Eine Mersennesche Primzahl.
6. Eine Sophie-Germain-Primzahl.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Chinesische Restsatz für ${}\mathbb {Z}$.
2. Das quadratische Reziprozitätsgesetz für ungerade Primzahlen.
3. Der Primzahlsatz.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.

${}3^{5}+11^{4}=122^{2}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von

${\binom {15}{5}}.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Zu einer positiven natürlichen Zahl ${}n$ sei ${}a_{n}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen ${}1,2,3,\ldots ,n$.

1. Bestimme ${}a_{n}$ für ${}n=1,2,3,4,5,6,7,8,9$.
2. Was ist die kleinste Zahl ${}n$ mit

   ${}a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=a_{n+3}\,?$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}x$ und ${}y$ natürliche Zahlen, die man beide als eine Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann. Zeige, dass man auch das Produkt ${}xy$ als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {55}}$ in ${}\mathbb {Z} /(93)$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}z\in \mathbb {R}$ derart, dass es ein Polynom ${}P\neq 0$ mit rationalen Koeffizienten und mit

${}P(z)=0\,$

gibt. Zeige, dass man

${}z={\frac {u}{v}}\,$

schreiben kann, wobei ${}v$ eine positive natürliche Zahl ist und es zu ${}u$ ein normiertes Polynom ${}Q$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit

${}Q(u)=0\,$

gibt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)