Elementare und algebraische Zahlentheorie/5/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 6 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Integritätsbereich} {.}
}{Eine \stichwort {Sophie-Germain-Primzahl} {.}
}{Der \stichwort {Quotientenkörper} {} zu einem kommutativen Ring $R$.
}{Ein \stichwortpraemath {R} {Modul}{} $M$ über einem kommutativen Ring $R$.
}{Ein \zusatzklammer {ganzer} {} {} \stichwort {Zahlbereich} {.}
}{Das \stichwort {Ideal zu einem effektiven Divisor} {} $D$ in einem Zahlbereich $R$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Ein
\definitionsverweis {kommutativer}{}{,}
\definitionsverweis {nullteilerfreier}{}{,}
von null verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
}{Eine Sophie-Germain-Primzahl ist eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$p$ mit der Eigenschaft, dass auch
\mathl{2p+1}{} eine Primzahl ist.
}{Zu einem
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
$R$ ist der Quotientenkörper
\mathl{Q(R)}{} als die Menge der formalen Brüche
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(R)
}
{ =} { { \left\{ \frac{r}{s} \mid r, s \in R , \, s \neq 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.
}{Man nennt $M$ einen
\stichwortpraemath {R} {Modul}{,}
wenn eine Operation
\maabbeledisp {} {R \times M } { M
} {(r,v)} { rv = r\cdot v
} {,}
festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien \mathlk{r,s \in R}{} und \mathlk{u,v \in M}{} beliebig} {} {:}
\aufzaehlungvier{
\mathl{r(su) = (rs) u}{,}
}{
\mathl{r(u+v) = (ru) + (rv)}{,}
}{
\mathl{(r+s)u = (ru)+ (su)}{,}
}{
\mathl{1u = u}{.}
}
}{Unter einem Zahlbereich versteht man den
\definitionsverweis {ganzen Abschluss}{}{}
von $\Z$ in $L$, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
ist.
}{Zu einem effektiven Divisor
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} {\sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nennt man
\mathdisp {{ \left\{ f \in R \mid \operatorname{div} (f) \geq D \right\} }} { }
das Ideal zum Divisor $D$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Chinesische Restsatz} {} für $\Z$.}{Der Satz über die Charakterisierung von Carmi\-chael-Zahlen.}{Der Satz über die Potenzen von Idealen in einem quadratischen Zahlbereich.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
\mathl{n= p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} { \cdots } p_k^{r_k}}{.} Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen
\maabb {} {\Z/(n)} {\Z/(p_i^{r_i} )
} {}
einen Ringisomorphismus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(n)
}
{ \cong} { \Z/(p_1^{r_1} ) \times \Z/(p_2^{r_2} ) \times \cdots \times \Z/(p_k^{r_k} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Eine natürliche nicht-prime Zahl
\mathl{n \geq 2}{} ist genau dann eine
\definitionsverweis {Carmichael-Zahl}{}{,}
wenn jeder Primteiler $p$ von $n$ einfach ist und
\mathl{p-1}{} die Zahl
\mathl{n-1}{} teilt.}{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{A_D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{}
und sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass ${\mathfrak a}^n$ ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell,m
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei $x$ die Zahl mit $\ell$ Neunen und $y$ die Zahl mit $m$ Neunen
\zusatzklammer {im Zehnersystem} {} {.}
Zeige, dass $y$ genau dann von $x$ geteilt wird, wenn $m$ von $\ell$ geteilt wird.
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {10^\ell -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {10^m -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei zuerst $\ell$ ein Teiler von $m$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m
}
{ =} { \ell k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y
}
{ =} {10^m -1
}
{ =} {10^{\ell k} -1
}
{ =} { { \left( 10^{\ell} \right) }^k -1
}
{ =} { { \left( 10^{\ell } -1 \right) } \cdot { \left( 10^{ (k-1) \ell } + \cdots + 10^{2 \ell } + 10^\ell+ 1 \right) }
}
}
{}
{}{,}
also ist $x$ ein Teiler von $y$.
Für die Umkehrung schreiben wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m
}
{ =} { \ell k + r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{r
}
{ < }{ \ell
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und setzen voraus, dass $y$ von $x$ geteilt wird. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y
}
{ =} { 10^m-1
}
{ =} { 10^{ \ell k + r }-1
}
{ =} { 10^{\ell k } \cdot 10^r -1
}
{ =} { { \left( 10^{\ell k }-1 \right) } \cdot 10^r +10^r -1
}
}
{}
{}{.}
Nach der Hinrichtung ist der linke Faktor des linken Summanden ein Vielfaches von
\mathl{10^\ell -1}{.} Wenn auch $y$ ein Vielfaches von
\mathl{10^\ell -1}{} ist, so muss auch die Differenz, also
\mathl{10^r-1}{} ein Vielfaches von $10^\ell -1$ sein. Dies kann aber aus Größengründen nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Finde unter den Zahlen $\leq 1000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.
}
{
Wir betrachten direkt die Primfaktorzerlegungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus direkt die Teileranzahl
\mathdisp {(k_1+1) (k_2+1) \cdots (k_r +1)} { }
ablesbar ist. Da $n$ klein sein soll, können wir direkt mit den ersten Primzahlen arbeiten und ferner
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{k_1
}
{ \geq} { k_2
}
{ \geq} { \ldots
}
{ \geq} { k_r
}
{ } {
}
}
{}{}{}
annehmen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^9
}
{ =} {512
}
{ <} {1000
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
welches $10$ Teiler besitzt, $2^{10}$ ist schon zu groß. Bei $r=2$ besitzt
\zusatzklammer {wir führen nur ernsthafte Kandidaten auf} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^8 \cdot 3
}
{ =} { 768
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
$18$ Teiler,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^6 \cdot 3^2
}
{ =} { 576
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
hat $21$ Teiler,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^5 3^3
}
{ =} { 864
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
hat $24$ Teiler,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^4 3^4
}
{ =} {1296
}
{ >} { 1000
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei $r=3$ besitzt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^6 \cdot 3 \cdot 5
}
{ =} { 960
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
$28$ Teiler,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5
}
{ =} { 720
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
hat $30$ Teiler,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5
}
{ =} { 1080
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist zu groß,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2
}
{ =} {900
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
hat $27$ Teiler. Bei $r=3$ besitzt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7
}
{ =} { 840
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
$32$ Teiler.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7
}
{ =} { 1260
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist zu groß. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11
}
{ =} { 2310
}
{ >} { 1000
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kann es nicht mehr Primfaktoren geben. Also besitzt $840$ unter allen Zahlen unterhalb von $1000$ die maximale Anzahl an Teilern, nämlich $32$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme in $\Z [ { \mathrm i} ]$ die Primfaktorzerlegung von $8- { \mathrm i}$. Begründe, warum die Faktoren prim sind.
}
{
Wir haben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (8- { \mathrm i} )(8+ { \mathrm i} )
}
{ =} { 65
}
{ =} { 5 \cdot 13
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Beide Primfaktoren der Norm haben also den Rest $1$ modulo $4$ und sind damit zerlegt im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{5
}
{ = }{ (2+ { \mathrm i} )(2- { \mathrm i} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{13
}
{ = }{ (3+2 { \mathrm i} ) (3-2 { \mathrm i} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und diese Faktoren sind prim nach
Fakt.
Die Primfaktorzerlegung von $8- { \mathrm i}$ muss also
\zusatzklammer {bis auf eine Einheit} {} {}
aus einem Primfaktor von $5$ und einem Primfaktor von $13$ bestehen.
Die eine Möglichkeit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2+ { \mathrm i} )(3+2 { \mathrm i} )
}
{ =} { 4+ 7 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die aber nicht zu
\mathl{8- { \mathrm i}}{} assoziiert ist. Die andere Möglichkeit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2+ { \mathrm i} )(3-2 { \mathrm i} )
}
{ =} { 8 - { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die die gesuchte Primfaktorzerlegung ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (2+1+1)}
{
a) Bestimme die primitiven Elemente von
\mathl{\Z/(11)}{.}
b) Man gebe einen Gruppenisomorphismus der additiven Gruppe
\mathl{(\Z/(10),+)}{} in die Einheitengruppe
\mathl{{ \left( \Z/(11) \right) }^{\times}}{} an.
c) Bestimme für jede Einheit aus
\mathl{\Z/(11)}{} die Ordnung.
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left(\frac{53}{311}\right)} { . }
}
{
Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\left( \frac{ 53 }{ 311 }\right)
}
{ =} {\left( \frac{ 311 }{ 53 }\right)
}
{ =} {\left( \frac{ 46 }{ 53 }\right)
}
{ =} {\left( \frac{ 2 }{ 53 }\right) \left( \frac{ 23 }{ 53 }\right)
}
{ =} {-\left( \frac{ 23 }{ 53 }\right)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {-\left( \frac{ 53 }{ 23 }\right)
}
{ =} {-\left( \frac{ 7 }{ 23 }\right)
}
{ =} {\left( \frac{ 23 }{ 7 }\right)
}
{ =} {\left( \frac{ 2 }{ 7 }\right)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {1
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{.}
Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen $p$ mit der Eigenschaft, dass $7$ ein Quadratrest modulo $p$ ist.
Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?
}
{
$7$ ist selbst ein Quadratrest modulo $7$, so dass wir im Folgenden annehmen, dass $p$ teilerfremd zu $7$ ist.
Wir benutzen das quadratische Reziprozitätsgesetz und zwar zunächst für den Fall
\mathl{p=3 \mod 4}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ 7 }{ p }\right)
}
{ =} { - \left( \frac{ p }{ 7 }\right)
}
{ =} { - \left( \frac{ p \mod 7 }{ 7 }\right)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Nichtquadrate modulo $7$ sind
\mathl{3,5,6}{.} Wir müssen also eine Bedingung dafür finden, dass
\mathl{p=3 \mod 4}{} und gleichzeitig
\mathl{p=3,5,6 \mod 7}{} ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung
\mathdisp {p =3,19,27 \mod 28} { . }
Für den Fall
\mathl{p=1 \mod 4}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ 7 }{ p }\right)
}
{ =} { \left( \frac{ p }{ 7 }\right)
}
{ =} { \left( \frac{ p \mod 7 }{ 7 }\right)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Quadrate modulo $7$, die zugleich Einheiten sind
\zusatzklammer {
\mathl{p=7}{} ist ausgeschlossen} {} {,}
sind
\mathl{1,2,4}{.} Wir müssen also eine Bedingung finden, dass
\mathl{p=1 \mod 4}{} und zugleich
\mathl{p=1,2,4 \mod 7}{} ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung
\mathdisp {p =1,9,25 \mod 28} { . }
Insgesamt hat man also die sieben Möglichkeiten
\mathdisp {p =1,3,7,9,19,25,27 \mod 28} { . }
Da diese Zahlen
\zusatzklammer {bis auf $7$} {} {}
teilerfremd zu $28$ sind, folgt aus dem Satz von Dirichlet über arithmetische Progressionen, dass es unendlich viele solche Primzahlen gibt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{p \in \Z}{} eine Primzahl und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$\Z/(p^n)$ nur die beiden trivialen
\definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{}
\mathkor {} {0} {und} {1} {}
besitzt.
}
{
Es sei $e \in \Z/(p^n)$ ein idempotentes Element. Dies bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e^2
}
{ =} {e
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mathl{e(e-1)}{} ein Vielfaches von $p^n$, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e(e-1)
}
{ =} { a p^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nehmen wir
\mathl{e \neq 0,1}{} an. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in $\Z$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e
}
{ =} { bp^i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e-1
}
{ =} { c p^j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i+j
}
{ =} {n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wären
\mathl{i,j \geq 1}{,} so wäre sowohl
\mathkor {} {e} {als auch} {e-1} {}
ein Vielfaches von $p$, und das würde dann auch für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ = }{e- (e-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten, was nicht der Fall ist. Also ist
\mathkor {} {i=n} {oder} {j=n} {,}
was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e-1
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Restklassenring
\mathl{\Z/(p^n)}{} bedeutet.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige: Für eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ ist die Mersennesche Zahl $M_p$ \definitionsverweis {quasiprim}{}{} zur Basis $2$.
}
{
Wir haben zu zeigen, dass für $m=2^p -1$ gilt: $2^{m-1} = 1$ modulo $m$. Es ist $2^p = 2$ modulo $p$ nach dem kleinen Fermat. Damit ist $m-1=2^p-2 =0$ modulo $p$. Also ist $m-1$ ein Vielfaches von $p$, sagen wir $m-1=ap$. Wegen $2^p=1$ modulo $m$ gilt dann $2^{m-1} = (2^p)^a = 1$ modulo $m$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.
}
{
Es sei zunächst ${\mathfrak p}$ ein Primideal. Dann ist insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \subset }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist der Restklassenring
\mathl{R/{\mathfrak p}}{} nicht der Nullring. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fg
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{R/ {\mathfrak p}}{} wobei $f,g$ durch Elemente in $R$ repräsentiert seien. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fg
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} was in $R/{\mathfrak p}$ gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet.
Ist umgekehrt
\mathl{R/{\mathfrak p}}{} ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \neq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $R/{\mathfrak p}$ und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fg
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{R/{\mathfrak p}}{,} also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fg
}
{ \notin }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $p$ eine Primzahl,
\mathl{q=p^{e}}{} mit
\mathl{e \geq 1}{} und sei ${\mathbb F}_q$ der Körper mit $q$ Elementen und
\mathl{R={\mathbb F}_q[X]}{} der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring $R/{\mathfrak a}$ zu einem Ideal
\mathl{{\mathfrak a} \neq 0}{} endlich ist.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Ideal. Der Polynomring über einem Körper ist ein Hauptidealbereich, daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man kann annehmen, dass $P$ normiert ist, dass also der Leitkoeffizient $1$ ist.
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R/{\mathfrak a}
}
{ =} {R/(P)
}
{ =} {{\mathbb F}_q[X]/(X^n+a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X +a_0 )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet, dass man im Restklassenring die Potenz $X^n<$ durch kleinere Potenzen ausdrücken kann. Iterativ kann man dann überhaupt jede Potenz $X^k$ durch Polynome vom Grad
\mathl{\leq n-1}{} ausdrücken, d.h. die Potenzen
\mathl{X^0,X^1 , \ldots , X^{n-1}}{} bilden ein
${\mathbb F}_q$-\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
\zusatzklammer {sogar eine Basis} {} {}
dieser
${\mathbb F}_q$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Damit liegt ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper vor, und dieser hat nur endlich viele Elemente.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Man gebe ein Beispiel von zwei \definitionsverweis {Zahlbereichen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {,} die als Ringe nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen \mathkor {} {(R,+,0)} {und} {(S,+,0)} {} als Gruppen \definitionsverweis {isomorph}{}{} als auch die multiplikativen Strukturen \mathkor {} {(R, \cdot,1)} {und} {(S, \cdot,1)} {} als Monoide isomorph sind.
}
{
Wir suchen unter den quadratischen Zahlbereichen. Nach
Fakt
ist ihre additive Struktur stets gleich $\Z^2$, einen additiven Isomorphismus gibt es also stets. Zu verschiedenen quadratfreien Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D,E
}
{ \neq }{0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die Ringe
\mathkor {} {A_D} {und} {A_E} {}
nicht isomorph, da in $A_D$ die Zahl $E$ keine Quadratwurzel besitzt
\zusatzklammer {dies gilt sogar in den Quotientenkörpern, und ein Ringisomorphismus der Ringe würde einen Körperisomorphismus auf den Quotientenkörpern induzieren} {} {.}
Um einen Isomorphismus der multiplikativen Struktur zu erhalten, such wir nach Beispielen, wo diese besonders einfach ist. Dies trifft im faktoriellen Fall zu, dann dann jedes von $0$ verschiedene Element $f$ eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {u p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer Einheit $u$ besitzt, und wobei die $p_i$ bis auf Assoziiertheit eindeitg bestimmt sind. Um Komplikationen mit Einheiten aus dem Weg zu gehen, betrachten wir imaginär-quadratische Zahlkörper zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ \leq} {-5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da dort nur
\mathkor {} {1} {und} {-1} {}
Einheiten sind. Somit betrachten wir die beiden quadratischen Zahlbereiche $A_D$ zu
\mathl{D=-7}{} und
\mathl{D=-11}{,} die nach
Fakt
faktoriell sind. In beiden Ringen gibt es abzählbar unendlich viele Primelemente und man wählt in beiden Ringen Assoziiertheitsklassen
\mathkor {} {p_n \in A_{-7},\, n \in \N,} {bzw.} {q_n \in A_{-11},\, n \in \N,} {}
aus Primelementen aus. Dann erhält man durch die Zuordnung
\maabbeledisp {} {A_{-7} } {A_{-11}
} { \pm \prod_{n \in \N} p_n^{k_n} } {\pm \prod_{n \in \N} q_n^{k_n}
} {}
\zusatzklammer {und $0$ auf $0$} {} {}
einen Monoidisomorphismus.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[ { \mathrm i} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R)
}
{ = }{\Q[{ \mathrm i}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das durch die beiden Erzeuger
\mathdisp {\frac{5}{7} \text{ und } \frac{-8+6 { \mathrm i} }{5}} { }
gegeben ist.
}
{
Man bringt die beiden Erzeuger auf den Hauptnenner, also
\mathdisp {\frac{25}{35} \, \text{ und } \frac{-56+42{ \mathrm i}}{35}} { . }
Von den beiden Zählern muss man den größten gemeinsamen Teiler mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus ausrechnen.
Zunächst ist
\mathdisp {-56 +42 { \mathrm i} =25 (-2+2 { \mathrm i} ) -6-8{ \mathrm i}} { . }
\zusatzklammer {Da $25$ ganzzahlig ist, kann man direkt eine gute Approximation sehen} {} {.}
Im nächsten Schritt bilden wir den Quotienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{25}{ -6-8{ \mathrm i} }
}
{ =} {\frac{25 (-6+8 { \mathrm i} )}{ (-6-8{ \mathrm i})(-6+8{ \mathrm i})}
}
{ =} {\frac{-150 + 200{ \mathrm i}}{100}
}
{ =} { -1+2{ \mathrm i} - \frac{1}{2}
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
Multiplikation mit dem Nenner ergibt:
\mathdisp {25 = (-1+2{ \mathrm i}) (-6-8{ \mathrm i}) + 3+4{ \mathrm i}} { . }
Der nächste Schritt liefert
\mathdisp {-6-8{ \mathrm i} =-2(3+4{ \mathrm i})} { . }
Also ist $3+4{ \mathrm i}$ der größte gemeinsame Teiler und damit ist
\mathdisp {\frac{3+4{ \mathrm i}}{35}} { }
der Erzeuger des gebrochenen Ideals.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit der Eigenschaft gibt, dass die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_f$ faktoriell ist.
}
{Quadratischer Zahlbereich/Nenneraufnahme/Faktoriell/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Ergänze die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7892 & 1551 \\ & \end{pmatrix}} { }
zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante $1$.