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Elementare und algebraische Zahlentheorie/5/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 6 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 4 }

\renewcommand{\aelf}{ 4 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{K}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Integritätsbereich} {.}

}{Eine \stichwort {Sophie-Germain-Primzahl} {.}

}{Der \stichwort {Quotientenkörper} {} zu einem kommutativen Ring $R$.

}{Ein \stichwortpraemath {R} {Modul}{} $M$ über einem kommutativen Ring $R$.

}{Ein \zusatzklammer {ganzer} {} {} \stichwort {Zahlbereich} {.}

}{Das \stichwort {Ideal zu einem effektiven Divisor} {} $D$ in einem Zahlbereich $R$. }

}
{

\aufzaehlungsechs{Ein \definitionsverweis {kommutativer}{}{,} \definitionsverweis {nullteilerfreier}{}{,} von null verschiedener Ring heißt Integritätsbereich. }{Eine Sophie-Germain-Primzahl ist eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ mit der Eigenschaft, dass auch
\mathl{2p+1}{} eine Primzahl ist. }{Zu einem \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} $R$ ist der Quotientenkörper
\mathl{Q(R)}{} als die Menge der formalen Brüche
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(R) }
{ =} { { \left\{ \frac{r}{s} \mid r, s \in R , \, s \neq 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert. }{Man nennt $M$ einen \stichwortpraemath {R} {Modul}{,} wenn eine Operation \maabbeledisp {} {R \times M } { M } {(r,v)} { rv = r\cdot v } {,} festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt \zusatzklammer {dabei seien \mathlk{r,s \in R}{} und \mathlk{u,v \in M}{} beliebig} {} {:} \aufzaehlungvier{
\mathl{r(su) = (rs) u}{,} }{
\mathl{r(u+v) = (ru) + (rv)}{,} }{
\mathl{(r+s)u = (ru)+ (su)}{,} }{
\mathl{1u = u}{.} } }{Unter einem Zahlbereich versteht man den \definitionsverweis {ganzen Abschluss}{}{} von $\Z$ in $L$, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} ist. }{Zu einem effektiven Divisor
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} {\sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nennt man
\mathdisp {{ \left\{ f \in R \mid \operatorname{div} (f) \geq D \right\} }} { }
das Ideal zum Divisor $D$. }


}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Chinesische Restsatz} {} für $\Z$.}{Der Satz über die Charakterisierung von Carmi\-chael-Zahlen.}{Der Satz über die Potenzen von Idealen in einem quadratischen Zahlbereich.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
\mathl{n= p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} { \cdots } p_k^{r_k}}{.} Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen \maabb {} {\Z/(n)} {\Z/(p_i^{r_i} ) } {} einen Ringisomorphismus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(n) }
{ \cong} { \Z/(p_1^{r_1} ) \times \Z/(p_2^{r_2} ) \times \cdots \times \Z/(p_k^{r_k} ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}{Eine natürliche nicht-prime Zahl
\mathl{n \geq 2}{} ist genau dann eine \definitionsverweis {Carmichael-Zahl}{}{,} wenn jeder Primteiler $p$ von $n$ einfach ist und
\mathl{p-1}{} die Zahl
\mathl{n-1}{} teilt.}{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{A_D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und sei ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass ${\mathfrak a}^n$ ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} ist.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell,m }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei $x$ die Zahl mit $\ell$ Neunen und $y$ die Zahl mit $m$ Neunen \zusatzklammer {im Zehnersystem} {} {.} Zeige, dass $y$ genau dann von $x$ geteilt wird, wenn $m$ von $\ell$ geteilt wird.

}
{

Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {10^\ell -1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} {10^m -1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es sei zuerst $\ell$ ein Teiler von $m$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m }
{ =} { \ell k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y }
{ =} {10^m -1 }
{ =} {10^{\ell k} -1 }
{ =} { { \left( 10^{\ell} \right) }^k -1 }
{ =} { { \left( 10^{\ell } -1 \right) } \cdot { \left( 10^{ (k-1) \ell } + \cdots + 10^{2 \ell } + 10^\ell+ 1 \right) } }
} {} {}{,} also ist $x$ ein Teiler von $y$.

Für die Umkehrung schreiben wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m }
{ =} { \ell k + r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq }{r }
{ < }{ \ell }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und setzen voraus, dass $y$ von $x$ geteilt wird. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu zeigen. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y }
{ =} { 10^m-1 }
{ =} { 10^{ \ell k + r }-1 }
{ =} { 10^{\ell k } \cdot 10^r -1 }
{ =} { { \left( 10^{\ell k }-1 \right) } \cdot 10^r +10^r -1 }
} {} {}{.} Nach der Hinrichtung ist der linke Faktor des linken Summanden ein Vielfaches von
\mathl{10^\ell -1}{.} Wenn auch $y$ ein Vielfaches von
\mathl{10^\ell -1}{} ist, so muss auch die Differenz, also
\mathl{10^r-1}{} ein Vielfaches von $10^\ell -1$ sein. Dies kann aber aus Größengründen nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Finde unter den Zahlen $\leq 1000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.

}
{

Wir betrachten direkt die Primfaktorzerlegungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} { p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} woraus direkt die Teileranzahl
\mathdisp {(k_1+1) (k_2+1) \cdots (k_r +1)} { }
ablesbar ist. Da $n$ klein sein soll, können wir direkt mit den ersten Primzahlen arbeiten und ferner
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{k_1 }
{ \geq} { k_2 }
{ \geq} { \ldots }
{ \geq} { k_r }
{ } { }
} {}{}{} annehmen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^9 }
{ =} {512 }
{ <} {1000 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} welches $10$ Teiler besitzt, $2^{10}$ ist schon zu groß. Bei $r=2$ besitzt \zusatzklammer {wir führen nur ernsthafte Kandidaten auf} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^8 \cdot 3 }
{ =} { 768 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} $18$ Teiler,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^6 \cdot 3^2 }
{ =} { 576 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} hat $21$ Teiler,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^5 3^3 }
{ =} { 864 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} hat $24$ Teiler,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^4 3^4 }
{ =} {1296 }
{ >} { 1000 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bei $r=3$ besitzt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^6 \cdot 3 \cdot 5 }
{ =} { 960 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} $28$ Teiler,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 }
{ =} { 720 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} hat $30$ Teiler,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 }
{ =} { 1080 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist zu groß,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 }
{ =} {900 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} hat $27$ Teiler. Bei $r=3$ besitzt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 }
{ =} { 840 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} $32$ Teiler.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 }
{ =} { 1260 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist zu groß. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 }
{ =} { 2310 }
{ >} { 1000 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} kann es nicht mehr Primfaktoren geben. Also besitzt $840$ unter allen Zahlen unterhalb von $1000$ die maximale Anzahl an Teilern, nämlich $32$.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Bestimme in $\Z [ { \mathrm i} ]$ die Primfaktorzerlegung von $8- { \mathrm i}$. Begründe, warum die Faktoren prim sind.

}
{

Wir haben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N(8- { \mathrm i}) }
{ =} { (8- { \mathrm i} )(8+ { \mathrm i} ) }
{ =} { 65 }
{ =} { 5 \cdot 13 }
{ } { }
} {}{}{.} Beide Primfaktoren der Norm haben also den Rest $1$ modulo $4$ und sind damit zerlegt im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{5 }
{ = }{ (2+ { \mathrm i} )(2- { \mathrm i} ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{13 }
{ = }{ (3+2 { \mathrm i} ) (3-2 { \mathrm i} ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und diese Faktoren sind prim nach Fakt. Die Primfaktorzerlegung von $8- { \mathrm i}$ muss also \zusatzklammer {bis auf eine Einheit} {} {} aus einem Primfaktor von $5$ und einem Primfaktor von $13$ bestehen.

Die eine Möglichkeit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2+ { \mathrm i} )(3+2 { \mathrm i} ) }
{ =} { 4+ 7 { \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die aber nicht zu
\mathl{8- { \mathrm i}}{} assoziiert ist. Die andere Möglichkeit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2+ { \mathrm i} )(3-2 { \mathrm i} ) }
{ =} { 8 - { \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die die gesuchte Primfaktorzerlegung ist.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4 (2+1+1)}
{


a) Bestimme die primitiven Elemente von
\mathl{\Z/(11)}{.}


b) Man gebe einen Gruppenisomorphismus der additiven Gruppe
\mathl{(\Z/(10),+)}{} in die Einheitengruppe
\mathl{{ \left( \Z/(11) \right) }^{\times}}{} an.


c) Bestimme für jede Einheit aus
\mathl{\Z/(11)}{} die Ordnung.

}
{Restklassenringe von Z/mod 11/Primitives Element/Isomorphismus der Einheitengruppe zu Z mod 10/Ordnungen/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol


\mathdisp {\left(\frac{53}{311}\right)} { . }

}
{

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.


\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\left( \frac{ 53 }{ 311 }\right) }
{ =} {\left( \frac{ 311 }{ 53 }\right) }
{ =} {\left( \frac{ 46 }{ 53 }\right) }
{ =} {\left( \frac{ 2 }{ 53 }\right) \left( \frac{ 23 }{ 53 }\right) }
{ =} {-\left( \frac{ 23 }{ 53 }\right) }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {-\left( \frac{ 53 }{ 23 }\right) }
{ =} {-\left( \frac{ 7 }{ 23 }\right) }
{ =} {\left( \frac{ 23 }{ 7 }\right) }
{ =} {\left( \frac{ 2 }{ 7 }\right) }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {1 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{.} Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen $p$ mit der Eigenschaft, dass $7$ ein Quadratrest modulo $p$ ist.

Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?

}
{

$7$ ist selbst ein Quadratrest modulo $7$, sodass wir im Folgenden annehmen, dass $p$ teilerfremd zu $7$ ist.

Wir benutzen das quadratische Reziprozitätsgesetz und zwar zunächst für den Fall
\mathl{p=3 \mod 4}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ 7 }{ p }\right) }
{ =} { - \left( \frac{ p }{ 7 }\right) }
{ =} { - \left( \frac{ p \mod 7 }{ 7 }\right) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Nichtquadrate modulo $7$ sind
\mathl{3,5,6}{.} Wir müssen also eine Bedingung dafür finden, dass
\mathl{p=3 \mod 4}{} und gleichzeitig
\mathl{p=3,5,6 \mod 7}{} ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung
\mathdisp {p =3,19,27 \mod 28} { . }
Für den Fall
\mathl{p=1 \mod 4}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ 7 }{ p }\right) }
{ =} { \left( \frac{ p }{ 7 }\right) }
{ =} { \left( \frac{ p \mod 7 }{ 7 }\right) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Quadrate modulo $7$, die zugleich Einheiten sind \zusatzklammer {
\mathl{p=7}{} ist ausgeschlossen} {} {,} sind
\mathl{1,2,4}{.} Wir müssen also eine Bedingung finden, dass
\mathl{p=1 \mod 4}{} und zugleich
\mathl{p=1,2,4 \mod 7}{} ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung
\mathdisp {p =1,9,25 \mod 28} { . }
Insgesamt hat man also die sieben Möglichkeiten
\mathdisp {p =1,3,7,9,19,25,27 \mod 28} { . }
Da diese Zahlen \zusatzklammer {bis auf $7$} {} {} teilerfremd zu $28$ sind, folgt aus dem Satz von Dirichlet über arithmetische Progressionen, dass es unendlich viele solche Primzahlen gibt.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Primzahl und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $\Z/(p^n)$ nur die beiden trivialen \definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{} \mathkor {} {0} {und} {1} {} besitzt.

}
{

Es sei $e \in \Z/(p^n)$ ein idempotentes Element. Dies bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e^2 }
{ =} {e }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist
\mathl{e(e-1)}{} ein Vielfaches von $p^n$, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e(e-1) }
{ =} { a p^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Nehmen wir
\mathl{e \neq 0,1}{} an. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in $\Z$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e }
{ =} { bp^i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e-1 }
{ =} { c p^j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i+j }
{ =} {n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wären
\mathl{i,j \geq 1}{,} so wäre sowohl \mathkor {} {e} {als auch} {e-1} {} ein Vielfaches von $p$, und das würde dann auch für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ = }{e- (e-1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gelten, was nicht der Fall ist. Also ist \mathkor {} {i=n} {oder} {j=n} {,} was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e-1 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Restklassenring
\mathl{\Z/(p^n)}{} bedeutet.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Zeige: Für eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ ist die Mersennesche Zahl $M_p$ \definitionsverweis {quasiprim}{}{} zur Basis $2$.

}
{

Wir haben zu zeigen, dass für $m=2^p -1$ gilt: $2^{m-1} = 1$ modulo $m$. Es ist $2^p = 2$ modulo $p$ nach dem kleinen Fermat. Damit ist $m-1=2^p-2 =0$ modulo $p$. Also ist $m-1$ ein Vielfaches von $p$, sagen wir $m-1=ap$. Wegen $2^p=1$ modulo $m$ gilt dann $2^{m-1} = (2^p)^a = 1$ modulo $m$.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.

}
{

Es sei zunächst ${\mathfrak p}$ ein Primideal. Dann ist insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ \subset }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit ist der Restklassenring
\mathl{R/{\mathfrak p}}{} nicht der Nullring. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fg }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in
\mathl{R/ {\mathfrak p}}{} wobei $f,g$ durch Elemente in $R$ repräsentiert seien. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fg }
{ \in }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ \in }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} was in $R/{\mathfrak p}$ gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bedeutet.

Ist umgekehrt
\mathl{R/{\mathfrak p}}{} ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ \neq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g }
{ \notin }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in $R/{\mathfrak p}$ und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fg }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in
\mathl{R/{\mathfrak p}}{,} also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fg }
{ \notin }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es sei $p$ eine Primzahl,
\mathl{q=p^{e}}{} mit
\mathl{e \geq 1}{} und sei ${\mathbb F}_q$ der Körper mit $q$ Elementen und
\mathl{R={\mathbb F}_q[X]}{} der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring $R/{\mathfrak a}$ zu einem Ideal
\mathl{{\mathfrak a} \neq 0}{} endlich ist.

}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Ideal. Der Polynomring über einem Körper ist ein Hauptidealbereich, daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ = }{(P) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Man kann annehmen, dass $P$ normiert ist, dass also der Leitkoeffizient $1$ ist. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R/{\mathfrak a} }
{ =} {R/(P) }
{ =} {{\mathbb F}_q[X]/(X^n+a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X +a_0 ) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies bedeutet, dass man im Restklassenring die Potenz $X^n<$ durch kleinere Potenzen ausdrücken kann. Iterativ kann man dann überhaupt jede Potenz $X^k$ durch Polynome vom Grad
\mathl{\leq n-1}{} ausdrücken, d.h. die Potenzen
\mathl{X^0,X^1 , \ldots , X^{n-1}}{} bilden ein ${\mathbb F}_q$-\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} \zusatzklammer {sogar eine Basis} {} {} dieser ${\mathbb F}_q$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Damit liegt ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper vor, und dieser hat nur endlich viele Elemente.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{

Man gebe ein Beispiel von zwei \definitionsverweis {Zahlbereichen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {,} die als Ringe nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen \mathkor {} {(R,+,0)} {und} {(S,+,0)} {} als Gruppen \definitionsverweis {isomorph}{}{} als auch die multiplikativen Strukturen \mathkor {} {(R, \cdot,1)} {und} {(S, \cdot,1)} {} als Monoide isomorph sind.

}
{

Wir suchen unter den quadratischen Zahlbereichen. Nach Fakt ist ihre additive Struktur stets gleich $\Z^2$, einen additiven Isomorphismus gibt es also stets. Zu verschiedenen quadratfreien Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D,E }
{ \neq }{0,1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind die Ringe \mathkor {} {A_D} {und} {A_E} {} nicht isomorph, da in $A_D$ die Zahl $E$ keine Quadratwurzel besitzt \zusatzklammer {dies gilt sogar in den Quotientenkörpern, und ein Ringisomorphismus der Ringe würde einen Körperisomorphismus auf den Quotientenkörpern induzieren} {} {.} Um einen Isomorphismus der multiplikativen Struktur zu erhalten, such wir nach Beispielen, wo diese besonders einfach ist. Dies trifft im faktoriellen Fall zu, dann dann jedes von $0$ verschiedene Element $f$ eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} {u p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einer Einheit $u$ besitzt, und wobei die $p_i$ bis auf Assoziiertheit eindeitg bestimmt sind. Um Komplikationen mit Einheiten aus dem Weg zu gehen, betrachten wir imaginär-quadratische Zahlkörper zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ \leq} {-5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da dort nur \mathkor {} {1} {und} {-1} {} Einheiten sind. Somit betrachten wir die beiden quadratischen Zahlbereiche $A_D$ zu
\mathl{D=-7}{} und
\mathl{D=-11}{,} die nach Fakt faktoriell sind. In beiden Ringen gibt es abzählbar unendlich viele Primelemente und man wählt in beiden Ringen Assoziiertheitsklassen \mathkor {} {p_n \in A_{-7},\, n \in \N,} {bzw.} {q_n \in A_{-11},\, n \in \N,} {} aus Primelementen aus. Dann erhält man durch die Zuordnung \maabbeledisp {} {A_{-7} } {A_{-11} } { \pm \prod_{n \in \N} p_n^{k_n} } {\pm \prod_{n \in \N} q_n^{k_n} } {} \zusatzklammer {und $0$ auf $0$} {} {} einen Monoidisomorphismus.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{\Z[ { \mathrm i} ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R) }
{ = }{\Q[{ \mathrm i}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} das durch die beiden Erzeuger
\mathdisp {\frac{5}{7} \text{ und } \frac{-8+6 { \mathrm i} }{5}} { }
gegeben ist.

}
{

Man bringt die beiden Erzeuger auf den Hauptnenner, also
\mathdisp {\frac{25}{35} \, \text{ und } \frac{-56+42{ \mathrm i}}{35}} { . }
Von den beiden Zählern muss man den größten gemeinsamen Teiler mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus ausrechnen.

Zunächst ist
\mathdisp {-56 +42 { \mathrm i} =25 (-2+2 { \mathrm i} ) -6-8{ \mathrm i}} { . }
\zusatzklammer {Da $25$ ganzzahlig ist, kann man direkt eine gute Approximation sehen} {} {.}

Im nächsten Schritt bilden wir den Quotienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{25}{ -6-8{ \mathrm i} } }
{ =} {\frac{25 (-6+8 { \mathrm i} )}{ (-6-8{ \mathrm i})(-6+8{ \mathrm i})} }
{ =} {\frac{-150 + 200{ \mathrm i}}{100} }
{ =} { -1+2{ \mathrm i} - \frac{1}{2} }
{ } { }
} {}{}{,} Multiplikation mit dem Nenner ergibt:
\mathdisp {25 = (-1+2{ \mathrm i}) (-6-8{ \mathrm i}) + 3+4{ \mathrm i}} { . }
Der nächste Schritt liefert
\mathdisp {-6-8{ \mathrm i} =-2(3+4{ \mathrm i})} { . }
Also ist $3+4{ \mathrm i}$ der größte gemeinsame Teiler und damit ist
\mathdisp {\frac{3+4{ \mathrm i}}{35}} { }
der Erzeuger des gebrochenen Ideals.


}





\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass es ein
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,} mit der Eigenschaft gibt, dass die \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} $R_f$ faktoriell ist.

}
{Quadratischer Zahlbereich/Nenneraufnahme/Faktoriell/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Ergänze die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7892 & 1551 \\ & \end{pmatrix}} { }
zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante $1$.

}
{2x2-Matrix/Zeile/Ergänze/2/Aufgabe/Lösung }