Elementare und algebraische Zahlentheorie/5/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 6 4 3 4 4 4 4 4 4 3 6 4 5 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Integritätsbereich.
  2. Eine Sophie-Germain-Primzahl.
  3. Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring .
  4. Ein -Modul über einem kommutativen Ring .
  5. Ein ganzer Zahlbereich.
  6. Das Ideal zu einem effektiven Divisor in einem Zahlbereich .


Lösung

  1. Ein kommutativer, nullteilerfreier, von null verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
  2. Eine Sophie-Germain-Primzahl ist eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass auch eine Primzahl ist.
  3. Zu einem Integritätsbereich ist der Quotientenkörper als die Menge der formalen Brüche

    mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

  4. Man nennt einen -Modul, wenn eine Operation

    festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien und beliebig):

    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. .
  5. Unter einem Zahlbereich versteht man den ganzen Abschluss von in , wobei eine endliche Körpererweiterung ist.
  6. Zu einem effektiven Divisor

    nennt man

    das Ideal zum Divisor .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Chinesische Restsatz für .
  2. Der Satz über die Charakterisierung von Carmichael-Zahlen.
  3. Der Satz über die Potenzen von Idealen in einem quadratischen Zahlbereich.


Lösung

  1. Sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung . Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen einen Ringisomorphismus
  2. Eine natürliche nicht-prime Zahl ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn jeder Primteiler von einfach ist und die Zahl teilt.
  3. Sei ein quadratischer Zahlbereich und sei ein Ideal in . Dann gibt es ein derart, dass ein Hauptideal ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Es seien und es sei die Zahl mit Neunen und die Zahl mit Neunen (im Zehnersystem). Zeige, dass genau dann von geteilt wird, wenn von geteilt wird.


Lösung

Wir schreiben

und

Es sei zuerst ein Teiler von , also

Dann ist

also ist ein Teiler von .

Für die Umkehrung schreiben wir

mit und setzen voraus, dass von geteilt wird. Es ist zu zeigen. Es ist

Nach der Hinrichtung ist der linke Faktor des linken Summanden ein Vielfaches von . Wenn auch ein Vielfaches von ist, so muss auch die Differenz, also ein Vielfaches von sein. Dies kann aber aus Größengründen nur bei sein.


Aufgabe (4 Punkte)

Finde unter den Zahlen diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.


Lösung

Wir betrachten direkt die Primfaktorzerlegungen

woraus direkt die Teileranzahl
ablesbar ist. Da klein sein soll, können wir direkt mit den ersten Primzahlen arbeiten und ferner

annehmen. Bei ist

welches Teiler besitzt, ist schon zu groß. Bei besitzt (wir führen nur ernsthafte Kandidaten auf)

Teiler,

hat Teiler,

hat Teiler,

Bei besitzt

Teiler,

hat Teiler,

ist zu groß,

hat Teiler. Bei besitzt

Teiler.

ist zu groß. Wegen

kann es nicht mehr Primfaktoren geben. Also besitzt unter allen Zahlen unterhalb von die maximale Anzahl an Teilern, nämlich .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in die Primfaktorzerlegung von . Begründe, warum die Faktoren prim sind.


Lösung

Wir haben

Beide Primfaktoren der Norm haben also den Rest modulo und sind damit zerlegt im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen. Es ist und , und diese Faktoren sind prim nach Fakt. Die Primfaktorzerlegung von muss also (bis auf eine Einheit) aus einem Primfaktor von und einem Primfaktor von bestehen.

Die eine Möglichkeit ist

die aber nicht zu assoziiert ist. Die andere Möglichkeit ist

die die gesuchte Primfaktorzerlegung ist.


Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

a) Bestimme die primitiven Elemente von .

b) Man gebe einen Gruppenisomorphismus der additiven Gruppe in die Einheitengruppe an.

c) Bestimme für jede Einheit aus die Ordnung.


Lösung Restklassenringe von Z/mod 11/Primitives Element/Isomorphismus der Einheitengruppe zu Z mod 10/Ordnungen/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol



Lösung

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.


Also ist ein Quadratrest modulo .


Aufgabe (4 Punkte)

Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen mit der Eigenschaft, dass ein Quadratrest modulo ist.

Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?


Lösung

ist selbst ein Quadratrest modulo , so dass wir im Folgenden annehmen, dass teilerfremd zu ist.

Wir benutzen das quadratische Reziprozitätsgesetz und zwar zunächst für den Fall . Dann ist

Die Nichtquadrate modulo sind . Wir müssen also eine Bedingung dafür finden, dass und gleichzeitig ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung

Für den Fall ist

Die Quadrate modulo , die zugleich Einheiten sind ( ist ausgeschlossen), sind . Wir müssen also eine Bedingung finden, dass und zugleich ist. Mit dem Chinesischen Restsatz ergibt sich die Kongruenzbedingung

Insgesamt hat man also die sieben Möglichkeiten

Da diese Zahlen (bis auf ) teilerfremd zu sind, folgt aus dem Satz von Dirichlet über arithmetische Progressionen, dass es unendlich viele solche Primzahlen gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Primzahl und . Zeige, dass der Restklassenring nur die beiden trivialen idempotenten Elemente und besitzt.


Lösung

Sei ein idempotentes Element. Dies bedeutet

und somit ist ein Vielfaches von , sagen wir

Nehmen wir an. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in ist

und

mit

Wären , so wäre sowohl als auch ein Vielfaches von , und das würde dann auch für gelten, was nicht der Fall ist. Also ist oder , was oder im Restklassenring bedeutet.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige: Für eine Primzahl ist die Mersennesche Zahl quasiprim zur Basis .


Lösung

Wir haben zu zeigen, dass für gilt: modulo . Es ist modulo nach dem kleinen Fermat. Damit ist modulo . Also ist ein Vielfaches von , sagen wir . Wegen modulo gilt dann modulo .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.


Lösung

Sei zunächst ein Primideal. Dann ist insbesondere und somit ist der Restklassenring nicht der Nullring. Sei in wobei durch Elemente in repräsentiert seien. Dann ist und damit oder , was in gerade oder bedeutet.

Ist umgekehrt ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist . Sei . Dann ist in und daher in , also ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Primzahl, mit und sei der Körper mit Elementen und der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring zu einem Ideal endlich ist.


Lösung

Sei ein Ideal. Der Polynomring über einem Körper ist ein Hauptidealbereich, daher ist mit einem Polynom . Man kann annehmen, dass normiert ist, dass also der Leitkoeffizient ist. Dann ist

Dies bedeutet, dass man im Restklassenring die Potenz durch kleinere Potenzen ausdrücken kann. Iterativ kann man dann überhaupt jede Potenz durch Polynome vom Grad ausdrücken, d.h. die Potenzen bilden ein -Erzeugendensystem (sogar eine Basis) dieser -Algebra. Damit liegt ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper vor, und dieser hat nur endlich viele Elemente.


Aufgabe (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei Zahlbereichen und , die als Ringe nicht isomorph sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen und als Gruppen isomorph als auch die multiplikativen Strukturen und als Monoide isomorph sind.


Lösung

Wir suchen unter den quadratischen Zahlbereichen. Nach Fakt ist ihre additive Struktur stets gleich , einen additiven Isomorphismus gibt es also stets. Zu verschiedenen quadratfreien Zahlen sind die Ringe und nicht isomorph, da in die Zahl keine Quadratwurzel besitzt (dies gilt sogar in den Quotientenkörpern, und ein Ringisomorphismus der Ringe würde einen Körperisomorphismus auf den Quotientenkörpern induzieren). Um einen Isomorphismus der multiplikativen Struktur zu erhalten, such wir nach Beispielen, wo diese besonders einfach ist. Dies trifft im faktoriellen Fall zu, dann dann jedes von verschiedene Element eine Darstellung

mit einer Einheit besitzt, und wobei die bis auf Assoziiertheit eindeitg bestimmt sind. Um Komplikationen mit Einheiten aus dem Weg zu gehen, betrachten wir imaginär-quadratische Zahlkörper zu

da dort nur und Einheiten sind. Somit betrachten wir die beiden quadratischen Zahlbereiche zu und , die nach Fakt faktoriell sind. In beiden Ringen gibt es abzählbar unendlich viele Primelemente und man wählt in beiden Ringen Assoziiertheitsklassen bzw. aus Primelementen aus. Dann erhält man durch die Zuordnung

(und auf ) einen Monoidisomorphismus.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei . Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus , das durch die beiden Erzeuger

gegeben ist.


Lösung

Man bringt die beiden Erzeuger auf den Hauptnenner, also

Von den beiden Zählern muss man den größten gemeinsamen Teiler mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus ausrechnen.

Zunächst ist

(Da ganzzahlig ist, kann man direkt eine gute Approximation sehen).

Im nächsten Schritt bilden wir den Quotienten

Multiplikation mit dem Nenner ergibt:

Der nächste Schritt liefert

Also ist der größte gemeinsame Teiler und damit ist

der Erzeuger des gebrochenen Ideals.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass es ein , , mit der Eigenschaft gibt, dass die Nenneraufnahme faktoriell ist.


Lösung Quadratischer Zahlbereich/Nenneraufnahme/Faktoriell/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Ergänze die Matrix

zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante .


Lösung 2x2-Matrix/Zeile/Ergänze/2/Aufgabe/Lösung