Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe/Lösung

1. Sei ${}p$ eine ungerade Primzahl. Dann gilt für eine zu ${}p$ teilerfremde Zahl ${}k$ die Gleichheit

   $\left({\frac {k}{p}}\right)=k^{\frac {p-1}{2}}\mod p.$

2. Sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Ideal in ${}R$. Dann ist ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal genau dann, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.
3. Sei ${}R$ ein Zahlbereich und ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in ${}R$. Dann gibt es eine Produktdarstellung

   ${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$

   mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${}{\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus ${}R$ und eindeutig bestimmten Exponenten

   ${}r_{i}$, ${}i=1,\ldots ,k$.

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