Elliptische Kurve/Fq/Frobeniuspotenzen/Wirkung auf Tate-Modul/Fakt/Beweis

Beweis

1. Wir ziehen Fakt heran. Es ist

   ${}\det \left(\Phi _{\ell }\right)=\operatorname {Grad} \,(\Phi )=q\,$

   nach Fakt. Es ist

   ${}\operatorname {Spur} {\left(\Phi _{\ell }\right)}=1+\operatorname {Grad} \,(\Phi )-\operatorname {Grad} \,(\operatorname {Id} _{E}-\Phi )=1+q-N_{1}\,$

   unter Verwendung von Fakt. Daraus ergibt sich das charakteristische Polynom von ${}\Phi _{\ell }$ zu

   ${}T^{2}-(q+1-N_{1})T+q=T^{2}+(N_{1}-q-1)T+q\,.$

2. Die Nichtnegativität des Polynoms kann man wegen der Stetigkeit mit rationalen Zahlen testen. Es sei also ${}{\frac {r}{s}}$ eine rationale Zahl. Der Wert des charakteristischen Polynoms an der Stelle ${}{\frac {r}{s}}$ ist

   ${}{\begin{aligned}\det \left(T\operatorname {Id} _{T_{\ell }(E)}-\Phi _{\ell }\right)({\frac {r}{s}})&=\det \left({\frac {r}{s}}\operatorname {Id} _{T_{\ell }(E)}-\Phi _{\ell }\right)\\&={\frac {1}{s^{2}}}\det \left(r\operatorname {Id} _{T_{\ell }(E)}-s\Phi _{\ell }\right)\\&={\frac {1}{s^{2}}}\operatorname {Grad} \,([r]-s\Phi )\\&\geq 0.\end{aligned}}$

3. Nach (2) besitzt das charakteristische Polynom entweder eine doppelte reelle Nullstelle oder zwei nicht reelle zueinander komplex-konjugierte Nullstellen. So oder so ist ihr Betrag gleich, und wegen

   ${}\alpha \beta =q\,$

   ergibt sich ${}\vert {\alpha }\vert =\vert {\beta }\vert ={\sqrt {q}}$.

4. Das charakteristische Polynom zu ${}\Phi _{\ell }$ kann man über ${}{\mathbb {C} }$ als ${}(X-\alpha )(T-\beta )$ schreiben. Eine solche Zerlegung hat man auch über dem algebraischen Abschluss von

   ${}Q({\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell })=\mathbb {Q} _{\ell }\,$

   (bzw. schon in einer quadratischen Erweiterung von ${}\mathbb {Q} _{\ell }$). Dabei sind ${}\alpha ,\beta$ (genauer ${}\alpha _{\ell },\beta _{\ell }$) die Eigenwerte von ${}\Phi _{\ell }$. Somit sind ${}\alpha ^{n},\beta ^{n}$ die Eigenwerte von ${}\Phi _{\ell }^{n}$ und das charakteristische Polynom zu ${}\Phi _{\ell }^{n}$ ist ${}(T-\alpha ^{n})(T-\beta ^{n})$. Die entstehenden Polynome haben wieder ganzzahlige Koeffizienten, daher ist es egal, ob man über ${}{\mathbb {C} }$ oder über ${}{\overline {\mathbb {Q} _{\ell }}}$ arbeitet.

5. Die Anzahl der Punkte von ${}E$ über ${}{\mathbb {F} }_{q^{n}}$ ist unter Verwendung von Fakt und Fakt gleich

   ${}{\begin{aligned}{\#\left(E({\mathbb {F} }_{q^{n}})\right)}&=\operatorname {Grad} \,(\operatorname {Id} _{E}-\Phi ^{n})\\&=\det \left(\operatorname {Id} _{T_{\ell }(E)}-\Phi _{\ell }^{n}\right)\\&=1+\det \left(\Phi _{\ell }^{n}\right)-\operatorname {Spur} {\left(\Phi _{\ell }^{n}\right)}\\&=1+q^{n}-\alpha ^{n}-\beta ^{n}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage