Elliptische Kurve/Isogenie/Separabel/Etale/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund der Separabilität gibt es nach Fakt eine nichtleere offene affine Teilmenge ${}V\subseteq E_{2}$ derart, dass ${}\varphi ^{-1}(V)$ auch affin ist und die eingeschränkte Abbildung

$\varphi \colon \varphi ^{-1}(V)\longrightarrow V$

die Eigenschaft besitzt, dass der Kählermodul gleich ${}0$ ist. Aus Fakt folgt somit, dass über einem jeden Punkt ${}Q\in V$ genau ${}n$ Punkte liegen, wobei ${}n$ den Grad der Kurvenabbildung bezeichnet. Es sei nun ${}Q'\in E_{2}$ ein beliebiger Punkt und sei ${}P'\in E_{1}$ ein Punkt oberhalb von ${}Q'$. Wir fixieren einen Punkt ${}P\in V$ und einen Punkt ${}Q\in E_{1}$ oberhalb von ${}P$. Wir betrachten die Translation ${}\tau _{1}$ auf ${}E_{1}$ von ${}P$ nach ${}P'$ und die Translation ${}\tau _{2}$ auf ${}E_{2}$ von ${}Q$ nach ${}Q'$. Nach Fakt gilt

${}{\begin{aligned}\varphi (\tau _{1}(x))&=\varphi (x+P'-P)\\&=\varphi (x)+\varphi (P')-\varphi (P)\\&=\varphi (x)+Q'-Q\\&=\tau _{2}(\varphi (x)),\end{aligned}}$

d.h. das Diagramm

${\begin{matrix}E_{1}&{\stackrel {\tau _{1}}{\longrightarrow }}&E_{1}&\\\!\!\!\!\!\,\,\varphi \downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\E_{2}&{\stackrel {\tau _{2}}{\longrightarrow }}&E_{2}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. D.h. durch ${}\tau _{1}$ wird die Faser über ${}Q$ isomorph in die Faser über ${}Q'$ überführt und besteht auch aus genau ${}n$ Punkten.

Zur bewiesenen Aussage