Elliptische Kurve/Q/Modularitätssatz/Einführung/Textabschnitt

Eine über $\mathbb{Q}$ definierte elliptische Kurve besitzt eine $L$-Reihe, die man als eine Dirichletreihe $\sum _{n\in {\mathbb{N}}_{+}}{a}_n{n}^{-s}$ schreiben kann. Aus den Koeffizienten $a_n$ kann man andere Objekte bilden, insbesondere andere Reihen. Hier interessieren wir uns für die Reihe

$g(z):=\sum _{n\in {\mathbb{N}}_{+}}{a}_n{e}^{2\pi \mathrm{i}nz}.$

Es handelt sich um eine Fourierreihe, die man oft auch als Potenzreihe

$\sum _{n\in {\mathbb{N}}_{+}}{a}_n{q}^n$

schreibt, dabei gilt also  $q=e^{2\pi \mathrm{i}z}$,  es liegt eine Potenzreihe in $e^{2\pi \mathrm{i}z}$ vor. Es liegt die Zusammensetzung

$ℂ\stackrel{z\mapsto e^{2\pi \mathrm{i}z}}{⟶}ℂ\stackrel{q\mapsto \sum a_n{q}^n}{⟶}ℂ$

bzw.

$ℍ\stackrel{z\mapsto e^{2\pi \mathrm{i}z}}{⟶}U(0,1)\stackrel{q\mapsto \sum a_n{q}^n}{⟶}ℂ$

vor, für die Konvergenz auf der offenen Einheitskreisscheibe siehe Aufgabe. Man kann sich nun fragen, ob sich Gesetzmäßigkeiten der $L$-Reihe, die ja strukturelle Eigenschaften der elliptischen Kurve zusammenfasst, in Gesetzmäßigkeiten von $g(z)$ niederschlagen bzw. dort erst sichtbar bzw. sinnvoll formulierbar werden. Es gilt nun in der Tat der folgende Modularitätssatz, vormals die Vermutung von Taniyama-Shimura, der in einem wichtigen Spezialfall zuerst von Wiles und dann vollständig von Breuil, Conrad, Diamond, Taylor bewiesen wurde. Er kann auf recht unterschiedliche Weise formuliert werden, wir erwähnen eine Version, die ohne großen begrifflichen Aufwand direkt die Koeffizienten der $L$-Reihe ins Visier nimmt. Der Beweis geht deutlich über eine Einführung in elliptische Kurven hinaus.

Satz

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $\mathbb{Q}$ und sei

$L(E,s)=\sum _{n\in {\mathbb{N}}_{+}}{a}_n{n}^{-s}$

die zugehörige $L$-Reihe.

Dann gibt es eine natürliche Zahl $N$ derart, dass die Funktion

$g(z):=\sum _{n\in {\mathbb{N}}_{+}}{a}_n{e}^{2\pi \mathrm{i}nz}$

eine Modulform bezüglich ${\Gamma }_0(N)$ vom Gewicht $2$ ist.

Das bedeutet, dass $g$ die funktionale Identität

$g(Mz)=(cz+d{)}^{2}g(z)$

für jedes  $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\Gamma }_0(N)$  erfüllt.

Da die Reihe $\sum _{n\in {\mathbb{N}}_{+}}{a}_n{q}^n$ auf dem offenen Ball definiert ist, liegt für die zugehörige Abbildung auf $ℍ$ Holomorphie im Unendlichen mit dem Wert $0$ vor. Die Hauptaussage ist also die Verträglichkeit mit der Operation der Kongruenzuntergruppe, die eine zusätzliche Gesetzmäßigkeit zwischen den Koeffizienten $a_n$ und damit zwischen den verschiedenen Reduktionen der elliptischen Kurve ausdrückt.

Eine weitere Formulierung des Modularitätssatzes ist, dass es eine nichtkonstante holomorphe (oder algebraische) Abbildung

$X_0(N)⟶E$

gibt, wobei $X_0(N)$ die Modulkurve zur Kongruenzuntergruppe ${\Gamma }_0(N)$ bezeichnet.

Nach Fakt liefert eine über $\mathbb{Q}$ definierte elliptische Kurve $E$ zu jeder Primzahl $\ell$ eine Darstellung der absoluten Galoisgruppe von $\mathbb{Q}$ in den $\ell$-adischen Tate-Module

$T_{\ell }(E)\cong {\hat{\mathbb{Z}}}_{\ell }\times {\hat{\mathbb{Z}}}_{\ell },$

also einen Gruppenhomomorphismus

$\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})⟶\mathrm{Aut}{T}_{\ell }(E)\cong {\mathrm{GL}}_2\left({\hat{\mathbb{Z}}}_{\ell }\right).$

Ebenso definiert eine Modulform eine solche Darstellung. Im Beweis werden letztlich solche Darstellungen miteinander verglichen.

Eine wichtige Folgerung aus dem Modularitätsatz ist der folgende Satz, vormals eine Vermutung von Hasse-Weil.

Satz

Zu einer elliptischen Kurve über $\mathbb{Q}$ besitzt die zugehörige $L$-Reihe

$L(E,s)=\sum _{n\in {\mathbb{N}}_{+}}{a}_n{n}^{-s}$

eine analytische Fortsetzung auf $ℂ$.

Dies sichert, dass in der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer die $L$-Reihe in  $s=1$  eine sinnvolle Fortsetzung besitzt und der analytische Rang dort überhaupt wohldefiniert ist.