Kongruenzuntergruppe/Operation/Quotient/Kompaktifizierung/Bemerkung

Es sei ${}\Gamma \subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ eine Kongruenzuntergruppe, die auf der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$ durch Modulsubstitution operiert. Dazu gehört die Quotientenabbildung

$\pi _{\Gamma }\colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {H} }/\Gamma =:Y_{\Gamma },$

bei der durch ${}\Gamma$ ineinander überführbare Punkte miteinander identifiziert werden. Bei ${}\Gamma =\Gamma (N)$ und ${}\Gamma =\Gamma _{0}(N)$ finden sich Schreibweisen wie ${}Y(N)$ und ${}Y_{0}(N)$. Jede ${}\Gamma$-Modulform vom Gewicht ${}0$ faktorisiert durch ${}Y_{\Gamma }$. Bei ${}\Gamma =\Gamma (1)=\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ ist

${}{\mathbb {H} }/\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\cong {\mathbb {C} }\,$

und die Projektion stimmt mit der absoluten Invarianten ${}j$ überein. Bei einer Untergruppenbeziehung ${}\Gamma \subseteq \Gamma '$ liegt eine nach Aufgabe surjektive kanonische Abbildung

${\mathbb {H} }/\Gamma \longrightarrow {\mathbb {H} }/\Gamma '$

vor. Wenn ${}\Gamma$ ein Normalteiler in ${}\Gamma '$ ist, so operiert nach Aufgabe die endliche Restklassengruppe ${}\Gamma '/\Gamma$ auf ${}{\mathbb {H} }/\Gamma$ mit dem Quotienten ${}{\mathbb {H} }/\Gamma '$. Bei ${}\Gamma =\Gamma (N)$ und ${}\Gamma '=\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ erhält man speziell, dass

${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}/\Gamma (N)\cong \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} /(N)\right)}\,$

auf ${}{\mathbb {H} }/\Gamma$ operiert mit dem Quotienten

${}{\mathbb {H} }/\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\cong {\mathbb {C} }\,.$

Die ${}Y_{\Gamma }$ sind riemannsche Flächen und die Quotientenabbildungen sind holomorph. Man kann sie durch die Hinzunahme von endlich vielen Punkten kompaktifizieren und erhält dadurch kompakte Riemannsche Flächen ${}X_{\Gamma }$, die Modulflächen heißen. Da kompakte Riemannschen Flächen den glatten projektiven Kurven über ${}{\mathbb {C} }$ entsprechen, spricht man auch von Modulkurven.