Elliptische Kurven/Isogenie/Tate-Modul/Fakt

Es seien ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ elliptische Kurven über einem Körper ${}K$ und sei ${}\ell$ eine Primzahl. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Eine Isogenie

   $\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$

   definiert einen Gruppenhomomorphismus

   $\varphi _{\ell }\colon T_{\ell }(E_{1})\longrightarrow T_{\ell }(E_{2}).$

2. Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

   $\operatorname {Hom} _{K}{\left(E_{1},E_{2}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{}{\left(T_{\ell }(E_{1}),T_{\ell }(E_{2})\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi _{\ell },$

   vor.

3. Die Abbildung

   $\operatorname {End} _{K}{\left(E\right)}\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left(T_{\ell }(E)\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi _{\ell },$

   ist ein Ringhomomorphismus des Endomorphismenringes einer elliptischen Kurve in den Endomorphismenring des Tate-Moduls.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen