Elliptische Kurven/Isogenie/Tate-Modul/Fakt

Es seien $E_1$ und $E_2$ elliptische Kurven über einem Körper $K$ und sei $\ell$ eine Primzahl. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Eine Isogenie

   $\phi :E_1⟶E_2$

   definiert einen Gruppenhomomorphismus

   ${\phi }_{\ell }:T_{\ell }(E_1)⟶T_{\ell }(E_2).$

2. Dabei liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

   ${\mathrm{Hom}}_K(E_1,E_2)⟶{\mathrm{Hom}}_{}(T_{\ell }(E_1),T_{\ell }(E_2)),\phi ⟼{\phi }_{\ell },$

   vor.

3. Die Abbildung

   ${\mathrm{End}}_K\left(E\right)⟶{\mathrm{End}}_{}(T_{\ell }(E)),\phi ⟼{\phi }_{\ell },$

   ist ein Ringhomomorphismus des Endomorphismenringes einer elliptischen Kurve in den Endomorphismenring des Tate-Moduls.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen