Endliche Galoiserweiterung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Zum Beweis der Implikation von (1) nach (2) betrachten wir die Körperkette ${}K\subseteq \operatorname {Fix} \,(G)\subseteq L$. Nach der Gradformel und da eine Galoiserweiterung vorliegt ist

${}\operatorname {grad} _{K}\operatorname {Fix} \,(G)\cdot \operatorname {grad} _{\operatorname {Fix} \,(G)}L=\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(G\right)}\,.$

Nach dem Satz von Artin ist ${}\operatorname {grad} _{\operatorname {Fix} \,(G)}L={\#\left(G\right)}$, also ist ${}\operatorname {grad} _{K}\operatorname {Fix} \,(G)=1$.
Die Implikation von (2) nach (3) folgt aus Fakt.
Die Äquivalenz von (3) und (4) ergibt sich sofort aus Fakt.
Es sei nun (3) erfüllt. Wir schreiben ${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{m}]$. Die Minimalpolynome ${}F_{i}\in K[X]$ der ${}x_{i}$ zerfallen wegen der Normalität in ${}L[X]$ in Linearfaktoren. Daher können wir Fakt mit ${}M=L$ anwenden und erhalten ${}n=\operatorname {grad} _{K}L$ Einbettungen von ${}L$ nach ${}L$ (über ${}K$), und somit besitzt die Galoisgruppe ${}n$ Elemente.

Zur bewiesenen Aussage