Endliche Galoiserweiterung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Zum Beweis der Implikation von (1) nach (2) betrachten wir die Körperkette . Nach der Gradformel und da eine Galoiserweiterung vorliegt ist

Nach dem Satz von Artin ist , also ist .
Die Implikation von (2) nach (3) folgt aus Fakt.
Die Äquivalenz von (3) und (4) ergibt sich sofort aus Fakt.
Sei nun (3) erfüllt. Wir schreiben . Die Minimalpolynome der zerfallen wegen der Normalität in in Linearfaktoren. Daher können wir Fakt mit anwenden und erhalten Einbettungen von nach (über ), und somit besitzt die Galoisgruppe Elemente.