Beweis
Zum Beweis der Implikation von (1) nach (2) betrachten wir die Körperkette
.
Nach der
Gradformel
und da eine Galoiserweiterung vorliegt ist
-
![{\displaystyle {}\operatorname {grad} _{K}\operatorname {Fix} \,(G)\cdot \operatorname {grad} _{\operatorname {Fix} \,(G)}L=\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(G\right)}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e413d0f600c7134bd9fd4e81b73afa18be918cf)
Nach dem
Satz von Artin
ist
,
also ist
.
Die Implikation von (2) nach (3) folgt aus
Fakt.
Die Äquivalenz von (3) und (4) ergibt sich sofort aus
Fakt.
Es sei nun (3) erfüllt. Wir schreiben
.
Die
Minimalpolynome
der
zerfallen wegen der Normalität in
in Linearfaktoren. Daher können wir
Fakt
mit
anwenden und erhalten
Einbettungen von
nach
(über
),
und somit besitzt die Galoisgruppe
Elemente.