Endliche Galoiserweiterung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

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Beweis

Zum Beweis der Implikation von (1) nach (2) betrachten wir die Körperkette . Nach der Gradformel und da eine Galoiserweiterung vorliegt ist

Nach dem Satz von Artin ist , also ist .
Die Implikation von (2) nach (3) folgt aus Fakt.
Die Äquivalenz von (3) und (4) ergibt sich sofort aus Fakt.
Sei nun (3) erfüllt. Wir schreiben . Die Minimalpolynome der zerfallen wegen der Normalität in in Linearfaktoren. Daher können wir Fakt mit anwenden und erhalten Einbettungen von nach (über ), und somit besitzt die Galoisgruppe Elemente.

Zur bewiesenen Aussage