Endliche Galoiserweiterung/Charakterisierung/Fakt/Beweis
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Beweis
Zum Beweis der Implikation von (1) nach (2) betrachten wir die Körperkette . Nach der Gradformel und da eine Galoiserweiterung vorliegt ist
Nach dem
Satz von Artin
ist
,
also ist
.
Die Implikation von (2) nach (3) folgt aus
Fakt.
Die Äquivalenz von (3) und (4) ergibt sich sofort aus
Fakt.
Sei nun (3) erfüllt. Wir schreiben
.
Die
Minimalpolynome
der zerfallen wegen der Normalität in in Linearfaktoren. Daher können wir
Fakt
mit
anwenden und erhalten
Einbettungen von nach
(über ),
und somit besitzt die Galoisgruppe Elemente.