Endliche Gruppe/Darstellung/Lemma von Maschke/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund des Basisergänzungssatzes kann man ${}V=U\oplus W'$ mit einem ${}K$-Untervektorraum ${}W'$ schreiben, und man hat eine Projektion (längs ${}W'$)

$\pi \colon V\longrightarrow U$

mit ${}\pi \circ \iota =\operatorname {Id} _{U}$, wobei ${}\iota$ die Einbettung ${}U\subseteq W$ bezeichnet. Wir betrachten die lineare Abbildung (mit ${}n=\operatorname {ord} {\left(G\right)}$; dies ist eine Einheit in ${}K$)

$\psi \colon V\longrightarrow V,\,v\longmapsto {\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(\pi (g(v))).$

Für ${}u\in U$ ist (wegen $g(u)\in U$ und da ${}\pi$ auf ${}U$ die Identität ist)

${}{\begin{aligned}\psi (u)&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(\pi (g(u)))\\&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(g(u))\\&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}u\\&=u\end{aligned}}$

und das Bild von ${}\psi$ ist gleich ${}U$, d.h. ${}\psi$ ist ebenfalls eine Projektion auf ${}U$. Allerdings ist diese Projektion zusätzlich ${}G$-verträglich. Für ${}h\in G$ ist nämlich

${}{\begin{aligned}\psi (hv)&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(\pi (g(hv)))\\&={\frac {1}{n}}\sum _{f\in G}(hf^{-1})(\pi (f(v)))\\&=h{\left({\frac {1}{n}}\sum _{f\in G}f^{-1}(\pi (f(v)))\right)}\\&=h{\left(\psi (v)\right)}.\end{aligned}}$

Wir setzen nun ${}W:=\operatorname {kern} \psi$. Als Kern einer mit der Operation verträglichen linearen Abbildung ist ${}W$ nach Fakt ebenfalls ${}G$-invariant, und es ist offenbar ${}V=U\oplus W$.

Zur bewiesenen Aussage