Endliche Gruppe/Zugehörige Hopf-Algebra (kontravariant)/K-Punkte/Beispiel

Es sei ${}(G,1,\cdot )$ eine endliche Gruppe und ${}K$ ein Körper. Die gemäß Beispiel zugehörige Hopf-Algebra ist einfach  ${}H=\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}$,  also das ${}{\#\left(G\right)}$-fache direkte Produkt von ${}K$ mit sich selbst. Ein ${}K$-Algebrahomomorphismus

$\varphi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow K$

muss (wegen ${}e_{\sigma }\cdot e_{\tau }=0$ für ${}\sigma \neq \tau$) eine Projektion auf eine Komponente sein. D.h. ${}\varphi$ muss die Auswertung von  ${}f\in \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}$  an einem Gruppenelement  ${}\sigma \in G$  sein. Daher ist

${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\right)}=G\,.$

Darüber hinaus ist

${}\operatorname {Spek} {\left(\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\right)}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\right)}\,.$

Wir identifizieren also Gruppenelemente, Primideale von ${}\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}$ und ihre zugehörigen ${}K$-Algebrahomomorphismen (einen Gruppenelement ${}\sigma \in G$ entspricht die Projektion ${}p_{\sigma }$ auf die ${}\sigma$-Komponente und ihr Kern). Ebenso ist

${}G\times G=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(H\right)}\times _{K}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(H\right)}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(H\otimes _{K}H\right)}\,.$

Ein Paar  ${}{\left(\sigma ,\tau \right)}\in G\times G$  entspricht dabei dem ${}K$-Algebrahomomorphismus

$H\otimes _{K}H\longrightarrow K,\,f_{1}\otimes f_{2}\longmapsto \sigma (f_{1})\cdot \tau (f_{2}).$

Die durch die Hopf-Algebrastruktur induzierte Multiplikation ${}\mu$ auf ${}G$ von ${}\sigma$ und ${}\tau$, angewendet auf ${}e_{\rho }$, ist

${}{\begin{aligned}\mu {\left(\sigma ,\tau \right)}(e_{\rho })&={\left({\left(\sigma \otimes \tau \right)}\circ \Delta \right)}(e_{\rho })\\&={\left(\sigma \otimes \tau \right)}{\left(\sum _{\rho _{1}\cdot \rho _{2}=\rho }e_{\rho _{1}}\otimes e_{\rho _{2}}\right)}\\&=\sum _{\rho _{1}\cdot \rho _{2}=\rho }\sigma (e_{\rho _{1}})\cdot \tau (e_{\rho _{2}}).\end{aligned}}$

Die Summanden sind nur dann gleich ${}1$ (andernfalls sind sie ${}0$), wenn  ${}\rho _{1}=\sigma$  und  ${}\rho _{2}=\tau$  ist. Daher ist die Summe nur im Fall

${}\rho =\sigma \tau \,$

gleich ${}1$ und sonst gleich ${}0$. Dies bedeutet wiederum

${}\mu (\sigma ,\tau )=\sigma \tau \,,$

da ja ${}\sigma \tau$ ebenfalls genau an ${}e_{\sigma \tau }$ den Wert ${}1$ und sonst überall den Wert ${}0$ besitzt und die ${}K$-Algebrahomomorphismen von ${}H$ nach ${}K$ auf der Basis festgelegt sind. Also stimmt die durch die Hopf-Struktur gegebene Multiplikation mit der vorgegebenen Multiplikation überein. Das gleiche gilt für das neutrale Element und die Inversen. Insgesamt gewinnt man also die endliche Gruppe als affines Gruppenschema zur Hopf-Algebra zurück.