Endliche Gruppe/Zugehörige Hopf-Algebra (kontravariant)/K-Punkte/Beispiel

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Es sei eine endliche Gruppe und ein Körper. Die gemäß Beispiel zugehörige Hopf-Algebra ist einfach , also das -fache direkte Produkt von mit sich selbst. Ein -Algebrahomomorphismus

muss (wegen für ) eine Projektion auf eine Komponente sein. D.h. muss die Auswertung von an einem Gruppenelement sein. Daher ist

Darüber hinaus ist

Wir identifizieren also Gruppenelemente, Primideale von und ihre zugehörigen -Algebrahomomorphismen (einen Gruppenelement entspricht die Projektion auf die -Komponente und ihr Kern). Ebenso ist

Ein Paar entspricht dabei dem -Algebrahomomorphismus

Die durch die Hopf-Algebrastruktur induzierte Multiplikation auf von und , angewendet auf , ist

Die Summanden sind nur dann gleich (andernfalls sind sie ), wenn und ist. Daher ist die Summe nur im Fall

gleich und sonst gleich . Dies bedeutet wiederum

da ja ebenfalls genau an den Wert und sonst überall den Wert besitzt und die -Algebrahomomorphismen von nach auf der Basis festgelegt sind. Also stimmt die durch die Hopf-Struktur gegebene Multiplikation mit der vorgegebenen Multiplikation überein. Das gleiche gilt für das neutrale Element und die Inversen. Insgesamt gewinnt man also die endliche Gruppe als affines Gruppenschema zur Hopf-Algebra zurück.