Endliche Körper/Endliche Erweiterung/Galois/Zwischenkörper/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Sei . Wenn ein Unterkörper von ist, so ist ein -Vektorraum einer gewissen endlichen Dimension. Daher muss die Elementanzahl von eine Potenz von sein. Aus

ergibt sich sofort, dass ein Vielfaches von ist.

Sei umgekehrt ein Teiler von . Die Frobeniusiteration auf erzeugt eine Untergruppe der nach Fakt zyklischen Galoisgruppe von . Die Ordnung von ist . Es sei der zugehörige Fixkörper. Dann besitzt die Körpererweiterung nach Fakt den Grad und somit besitzt den Grad . Daher besitzt gerade Elemente und ist daher wegen Fakt isomorph zu .

Zur bewiesenen Aussage