Endliche Körper/Endliche Erweiterung von Fp/Galois und Frobenius/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei

der Frobeniushomomorphismus, der nach Fakt ein -Automorphismus ist. Daher sind auch die Iterationen Automorphismen, und zwar gilt

Bei ist nach Fakt für alle , also ist . Für kann nicht die Identität sein, da dies sofort Fakt widersprechen würde. Also gibt es verschiedene Potenzen des Frobeniusautomorphismus. Nach Fakt kann es keine weiteren Automorphismen geben und die Körpererweiterung ist galoissch mit der vom Frobenius erzeugten Gruppe als Galoisgruppe.

Zur bewiesenen Aussage