Endliche Körper/Existenz/Galoisgruppen/Kurzübersicht/Textabschnitt

Wir fassen die wichtigsten Resultate über endliche Körper ohne Beweise zusammen. Für Beweise siehe den Kurs über Galoistheorie.

Satz

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen.

Notation

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e\in \mathbb {N} _{+}$. Der aufgrund von Fakt bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte endliche Körper mit ${}q=p^{e}$ Elementen wird mit

${\mathbb {F} }_{q}$

bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}L$ ein endlicher Körper der Charakteristik ${}p$.

Dann ist der Frobeniushomomorphismus

$\Phi \colon L\longrightarrow L,\,x\longmapsto x^{p},$

ein Automorphismus, dessen Fixkörper ${}\mathbb {Z} /(p)$ ist.

Satz

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}m\in \mathbb {N}$, ${}q=p^{m}$.

Dann ist die Körpererweiterung ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung ${}m$, die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.