Endliche Körper/Existenz/Galoisgruppen/Kurzübersicht/Textabschnitt

Wir fassen die wichtigsten Resultate über endliche Körper ohne Beweise zusammen. Für Beweise siehe den Kurs über Galoistheorie.

Satz

Es sei $p$ eine Primzahl und  $e\in {\mathbb{N}}_{+}$. 

Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit  $q=p^e$  Elementen.

Notation

Es sei $p$ eine Primzahl und  $e\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Der aufgrund von Fakt bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte endliche Körper mit  $q=p^e$  Elementen wird mit

${𝔽}_q$

bezeichnet.

Lemma

Es sei $L$ ein endlicher Körper der Charakteristik $p$.

Dann ist der Frobeniushomomorphismus

$\Phi :L⟶L,x⟼x^p,$

ein Automorphismus, dessen Fixkörper $\mathbb{Z}/(p)$ ist.

Satz

Es sei $p$ eine Primzahl und  $q=p^m$  mit  $m\in {\mathbb{N}}_{+}$. 

Dann ist die Körpererweiterung  ${𝔽}_p\subseteq {𝔽}_q$  eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung $m$, die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.