Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt mit Beweisklappe

Satz

Es sei $p$ eine Primzahl und  $e\in {\mathbb{N}}_{+}$. 

Dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit  $q=p^e$  Elementen.

Beweis

Existenz. Wir wenden Fakt auf den Grundkörper $\mathbb{Z}/(p)$ und das Polynom $X^q-X$ an und erhalten einen Körper $L$ der Charakteristik $p$, über dem $X^q-X$ in Linearfaktoren zerfällt. Nach Fakt gibt es dann einen Unterkörper $M$ von $L$, der aus genau $q$ Elementen besteht.

Eindeutigkeit. Es seien $K$ und $L$ zwei Körper mit $q$ Elementen. Es sei $x\in K^{\times }$ ein primitives Element, das nach Fakt existiert. Daher ist  $K\cong \mathbb{Z}/(p)[X]/(F)$,  wobei  $F\in \mathbb{Z}/(p)[X]$  das Minimalpolynom von  $x\in K$  ist. Da $K^{\times }$ die Ordnung $q-1$ besitzt, gilt für jede Einheit $z^{q-1}=1$ und damit überhaupt  $z^q=z$  für alle  $z\in K$.  D.h., dass jedes Element von $K$ eine Nullstelle von $X^q-X$ ist und dass daher $X^q-X$ über $K$ in Linearfaktoren zerfällt. Da insbesondere  $x^q-x=0$  ist, muss das Minimalpolynom $F$ ein Teiler von $X^q-X$ sein, also  $X^q-X=F\cdot G$.  Nun zerfällt (aus den gleichen Gründen) das Polynom $X^q-X$ auch über $L$ und insbesondere hat $F$ eine Nullstelle  $\lambda \in L$.  Der Einsetzungshomomorphismus liefert einen Ringhomomorphismus

$K\cong \mathbb{Z}/(p)[X]/(F)⟶L.$

Da beides Körper sind, muss dieser injektiv sein. Da links und rechts jeweils $q$-elementige Mengen stehen, muss er auch surjektiv sein.

$◻$