Endliche Körper/Frobenius/Galoiskorrespondenz/Beispiel

Es sei ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ mit ${}q=p^{n}$ eine Körpererweiterung endlicher Körper. Nach Fakt ist dies eine Galoiserweiterung mit zyklischer Galoisgruppe der Ordnung ${}n$, die vom Frobeniushomomorphismus ${}\Phi$ erzeugt wird. Die Galoisgruppe ist also isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(n)$. Die Untergruppen von ${}\mathbb {Z} /(n)$ sind von der Form

${}H=\langle m\rangle =\{0,m,2m,\ldots ,(k-1)m\}\,$

mit einem Teiler ${}m$ von ${}n$, wobei ${}k={\frac {n}{m}}$ die Ordnung der Untergruppe ist. Der zugehörige Fixkörper ist der Fixkörper zu ${}\Phi ^{m}$, der nach Fakt isomorph zu ${}{\mathbb {F} }_{p^{m}}$ ist, und ${}H$ ist die Galoisgruppe von ${}{\mathbb {F} }_{p^{m}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{n}}$.

Zu jeder Untergruppe ${}H=\langle m\rangle$ gibt es die Restklassenabbildung

$\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow (\mathbb {Z} /(n))/H\cong \mathbb {Z} /({m}).$

Gemäß Fakt ist die Restklassengruppe dabei die Galoisgruppe von ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{m}}$, und der Frobenius ${}\Phi$ von ${}{\mathbb {F} }_{p^{n}}$ wird dabei auf den Frobenius von ${}{\mathbb {F} }_{p^{m}}$ eingeschränkt.

Insbesondere hängen die Anzahl und die Inklusionsbeziehungen der Zwischenkörper von ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{n}}$ nur von ${}n$ und nicht von der Primzahl ab.