Endliche Körpererweiterung/Endliche Galoisgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Die Körpererweiterung besitzt ein endliches $K$-Algebraerzeugendensystem, also  $L=K[x_1,\dots ,x_n]$.  Nach Fakt ist ein $K$-Algebraautomorphismus

$\phi :L⟶L$

durch $\phi (x_i)$, $i=1,\dots ,n$, eindeutig festgelegt. Da jedes $x_i$ nach Fakt algebraisch ist, gibt es Polynome

$F_i\ne 0$

mit  $F_i(x_i)=0$.  Nach Fakt ist auch  $F_i(\phi (x_i))=0$.  Die Polynome $F_i$ besitzen aber nach Fakt jeweils nur endlich viele Nullstellen, sodass nur endlich viele Werte für $\phi (x_i)$ in Frage kommen.

Zur bewiesenen Aussage