Endliche Körpererweiterung/Endliche Galoisgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Die Körpererweiterung besitzt ein endliches ${}K$-Algebraerzeugendensystem, also ${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Nach Fakt ist ein ${}K$-Algebraautomorphismus

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

durch ${}\varphi (x_{i})$, ${}i=1,\ldots ,n$, eindeutig festgelegt. Da jedes ${}x_{i}$ nach Fakt algebraisch ist, gibt es Polynome

${}F_{i}\neq 0\,$

mit ${}F_{i}(x_{i})=0$. Nach Fakt ist auch ${}F_{i}(\varphi (x_{i}))=0$. Die Polynome ${}F_{i}$ besitzen aber nach Fakt jeweils nur endlich viele Nullstellen, sodass nur endlich viele Werte für ${}\varphi (x_{i})$ in Frage kommen.

Zur bewiesenen Aussage