Wir führen Induktion über die Anzahl 
der beiden Mengen
und 
. Bei
gibt es nur die leere Abbildung
(von der leeren Menge in die leere Menge),
und diese erfüllt alle drei Eigenschaften. Es sei nun
und die Aussage für alle endlichen Mengen mit einer Anzahl 
bewiesen. Es muss lediglich die Äquivalenz von injektiv und surjektiv gezeigt werden. Es sei zunächst 
injektiv. Wir wählen ein Element
und setzen
.
Wir setzen
-
Beide Mengen haben
nach Fakt
Elemente, und somit kann man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Es sei
-
Diese Abbildung ist wohldefiniert, da wegen der Injektivität nur das Element 
auf 
abgebildet wird, alle anderen Elemente aus 
werden auf andere Elemente abgebildet, d.h. sie landen in 
. Die Injektivität von überträgt sich auf die Teilmenge . Nach der Induktionsvoraussetzung ist also 
surjektiv. Damit ist aber insgesamt surjektiv, da einerseits im Bild liegt
(mit als Urbild)
und da andererseits jedes Element
zu gehört und damit ein Urbild in besitzt.
Es sei nun surjektiv. Sei
beliebig und
.
Wir betrachten die
Einschränkung
-
Diese Abbildung kann nicht surjektiv sein. Andernfalls würde sich nämlich der Widerspruch
-
ergeben. Daher muss im Bild von fehlen, und das heißt, dass eine surjektive Abbildung
-
vorliegt. Beide Mengen besitzen
Elemente, sodass nach der Induktionsvoraussetzung hier eine Bijektion vorliegt. Damit ist auch die ursprüngliche Abbildung eine Bijektion.
