Endliche Permutationsgruppe/Auflösbarkeitseigenschaften/Textabschnitt

Lemma

Für ${}n\leq 4$

sind die Permutationsgruppen ${}S_{n}$ auflösbar.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Lemma

Für ${}n\geq 5$

sind die Permutationsgruppen ${}S_{n}$ nicht auflösbar.

Beweis

Wir betrachten eine Filtrierung

${}G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=S_{n}\,$

derart, dass die ${}G_{i}\subseteq G_{i+1}$ Normalteiler sind mit kommutativen Restklassengruppen. Wir werden zeigen, dass jedes ${}G_{i}$ sämtliche Dreierzykel (also Permutationen, bei denen drei Elemente zyklisch vertauscht werden, und alle übrigen festgelassen werden), enthält. Daher kann diese Filtrierung nicht bei der trivialen Gruppe enden, also ist ${}G_{0}\neq \{e\}$. Die Aussage über die Dreierzykel beweisen wir durch absteigende Induktion, wobei der Fall ${}G_{k}=S_{n}$ klar ist. Es sei also vorausgesetzt, dass ${}G_{i+1}$ alle Dreierzykel enthält. Es sei ${}\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle$ ein Dreierzyklus (mit verschiedenen Elementen $z_{1},z_{2},z_{3}\in {\{1,\ldots ,n\}}$.) Wegen ${}n\geq 5$ gibt es noch zwei weitere Elemente ${}x,y\in {\{1,\ldots ,n\}}$, die von ${}z_{1},z_{2},z_{3}$ und untereinander verschieden sind. Nach Induktionsvoraussetzung gehören die Dreierzykel

$\sigma =\langle z_{1},z_{2},x\rangle \,\,{\text{ und }}\,\,\tau =\langle z_{1},z_{3},y\rangle$

zu ${}G_{i+1}$. Eine elementare Überlegung zeigt

${}\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle =\langle z_{3},y,z_{2}\rangle \circ \langle z_{1},y,z_{3}\rangle =(\sigma \tau \sigma ^{-1})\circ \tau ^{-1}=\sigma \tau \sigma ^{-1}\tau ^{-1}\,.$

Dieses Element wird unter der Restklassenabbildung

$G_{i+1}\longrightarrow G_{i+1}/G_{i}$

auf das neutrale Element abgebildet, da ja die Restklassengruppe kommutativ ist. Also ist ${}\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle \in G_{i}$.

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