Endliche Symmetriegruppe/Tetraeder aus numerischer Bedingung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Voraussetzung gibt es drei Halbachsenklassen der Ordnung $2,3$ und $3$, ihre Elementanzahl ist daher $6,4$ und $4$. Betrachten wir eine Halbachsenklasse $K$ der Ordnung $3$ mit ihren vier äquivalenten Halbachsen und den zugehörigen Gruppenhomomorphismus

$G⟶\mathrm{Perm}(K),g⟼{\sigma }_g.$

Sei  $g\in G$  eine Dritteldrehung um eine Halbachse  $H\in K$.  Sie lässt $H$ fest und bewirkt eine Permutation der drei anderen Halbachsen in der Klasse. Diese Permutation kann nicht die Identität sein, da sonst $g$ mindestens zwei Achsen fest ließe und damit $g$ die (Raum)-Identität wäre. Da $g$ die Ordnung $3$ besitzt, muss diese Permutation ein Dreierzykel sein. Insbesondere gehören die vier Halbachsen zu verschiedenen Achsen, und die Doppeldrehung $g^2$ bewirkt den anderen Dreierzykel. Da man diese Überlegung mit jeder der vier Halbachsen aus $K$ anstellen kann, sieht man, dass $G$ sämtliche Dreierzykel der Permutationsgruppe der vier Halbachsen bewirkt. Das Bild des Gruppenhomomorphismus ist daher genau die alternierende Gruppe $A_4$ und damit ist  $G\cong A_4$.  Diese ist nach Aufgabe isomorph zur Tetraedergruppe.

Zur bewiesenen Aussage