Endliche Untergruppe/Bewegungsgruppe/Affin/Gemeinsamer Fixpunkt/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei die Ordnung der Gruppe. Es sei ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die baryzentrische Kombination

Da jedes insbesondere eine affin-lineare Abbildung ist, gilt nach Fakt die Gleichheit

Da eine Gruppe vorliegt, durchläuft die Menge , , einfach die gesamte Gruppe. Deshalb ist der Ausdruck rechts gleich selbst, und somit ist ein Fixpunkt für alle . Wir wählen als Ursprung und können dann mit identifizieren, wodurch wegen Fakt die affin-linearen Abbildungen zu linearen Abbildungen werden. Dadurch erhalten wir als Untergruppe der Isometriegruppe von . Da isometrisch zum mit dem Standardskalarprodukt ist, ist .

Zur bewiesenen Aussage