Endliche separable Körpererweiterung/Verhalten unter Kompositum/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $K\subseteq L=K[x_1,\dots ,x_n]$  separabel, und seien $F_i\in K[X]$ die zu $x_i$ gehörigen (separablen) Minimalpolynome. Dann ist  $L^{\prime }=K^{\prime }[x_1,\dots ,x_n]$  und die Minimalpolynome $G_i$ der $x_i$ über $K^{\prime }$ sind in $K^{\prime }[X]$ Teiler der $F_i$ und daher selbst separabel. Nach Fakt ist  $K^{\prime }\subseteq L^{\prime }$  eine separable Körpererweiterung.

Zur bewiesenen Aussage