Endlicher Basiskörper/Restklassenalgebra/Linearer Frobenius/Fixpunktcharakterisierung/Fakt

Es sei ${}K={\mathbb {F} }_{q}$, ${}q=p^{e}$, ein endlicher Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra. Es sei ${}{\overline {K}}$ ein algebraischer Abschluss von ${}K$. Es sei

$\Phi =F^{e}\otimes \operatorname {Id} _{\overline {K}}\colon R\otimes _{K}{\overline {K}}\longrightarrow R\otimes _{K}{\overline {K}},$

der ${}{\overline {K}}$-lineare Frobenius auf ${}R\otimes _{K}{\overline {K}}$. Dann sind für einen ${}{\overline {K}}$-rationalen Punkt

$Q\colon R\otimes _{K}{\overline {K}}\longrightarrow {\overline {K}}$

die folgenden Aussagen äquivalent.

1. Es ist

   ${}\Phi ^{*}(Q)=Q\,.$

2. Es ist

   ${}\operatorname {kern} \left(\Phi ^{*}(Q)\right)=\operatorname {kern} Q\,.$

3. Es gibt einen ${}K$-rationalen Punkt

   $P\colon R\longrightarrow K,$

   dessen kanonische Fortsetzung

   ${\overline {P}}\colon R\otimes _{K}{\overline {K}}\longrightarrow K\otimes _{K}{\overline {K}}\cong {\overline {K}}$

   mit ${}Q$ übereinstimmt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen