Endlicher Körper/Frobenius/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Der Frobeniushomomorphismus ist stets ein Ringhomomorphismus. Die Injektivität ergibt sich aus Fakt, und daraus ergibt sich die Surjektivität wegen der Endlichkeit aus Fakt. Wegen ${}\Phi (1)=1$ werden die Elemente aus ${}\mathbb {Z} /(p)$ auf sich selbst abgebildet. Daher gibt es ${}p$ Elemente in ${}K$ mit ${}x^{p}=x$ . Mehr kann es wegen Fakt nicht geben.