Endomorphismus/K/Potenz/Nullkonvergenz/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Aus (1) folgt (2). Sei . Wir können mit einer beliebigen Norm auf und dem Endomorphismenraum arbeiten, beispielsweise mit der Maximumsnorm. Dann konvergiert wegen

die Folge gegen . Von (2) nach (3) ist klar. Wenn umgekehrt (3) erfüllt ist, und

eine Linearkombination ist, so ist

und aus der Konvergenz der beteiligten Folgen gegen folgt die Konvergenz dieser Summenfolge gegen . Von (2) bzw. (3) nach (4). Wir können annehmen: Im reellen Fall kann man von ausgehen und die Abbildung durch eine reelle Matrix ausdrücken und diese als komplexe Matrix auffassen. Das gegebene reelle Erzeugendensystem ist dann auch ein komplexes Erzeugendensysten für den . Es sei ein Eigenwert und ein Eigenvektor zu . Da nach Voraussetzung

gegen konvergiert, muss gegen konvergieren und daher ist

Für den Schluss von (4) auf (1) verwenden wir Fakt, es ist also

wobei die Nilpotenzordnung des nilpotenten Anteils ist. Die Eigenwerte von sind nach Aufgabe die Eigenwerte des diagonalisierbaren Anteils , sie seien mit bezeichnet. Die Summanden sind von der Form

zu einem festen und einem Polynom . Die Diagonaleinträge von sind (nach Diagonalisieren) von der Form

und wegen konvergiert dies für gegen . Daher konvergiert gegen die Nullabbildung und das gilt nach Aufgabe auch für das Produkt mit der festen Abbildung . Daher konvergiert auch die Summe gegen die Nullabbildung.

Zur bewiesenen Aussage